一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）

1.已知为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数

的模等于（　　）

A．
　 B．
C．
D．

2.如图所示的程序框图的输入值
，则输出值的取值范围为（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的

四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体

的体积是（ 　 ）

A．
B．6 C．4 D．

4.下列命题正确的个数是（ 　 ）

①“在三角形
中，若
,则
”的逆命题是真命题；

②命题
或
，命题
则是的必要不充分条件；

③“
”的否定是“
”；

④若随机变量
，则

A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知等比数列
的前n项和为
，且
，
，则
（　 ）

A．
B．
C．
D．

6.若函数
的图像向右平移
个单位后与原函数的图像关于轴对称，则的最小正值是 （　　 ）

A．
B．1 C．2 D．3

7.若正实数
，满足
，则
的最大值是( 　 )

A．2 B．3 　 C．4 　 D．5

8.某校周四下午第三、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（　　）种。

A、20 B、19 C、16 D、15

9.定义在
上的函数
,
是它的导函数,且恒有
成立,则（　　）

A．
B．
C．
D．

10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当
时，
恒成立(
为函数
的导函数)；②对任意的
都有
，又函数
满足：对任意的
，都有
成立。当
时，
。若关于的不等式
对
恒成立,则的取值范围是（ 　 ）

A、
B、
C、
D、
或

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）

11.已知函数
，则
的解集为 ．

12.
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．

13．在直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点
，且
，定义：
，称“
”为“
的正余弦函数”，若
，则
_________ .

14.如图，四边形
是边长为1的正方形，延长
至，使得
。动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
.则
的取值范围为__　　__　　____．

15.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”.定义如下：对于任意两个向量
，“
”当且仅当“
”或“
”。按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则对于任意
；

④对于任意向量
，若
，则
。

其中真命题的序号为__________

三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）

16．（12分）集合
，
，若命题
，命题
，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。

17.（12分）如图，海上有
两个小岛相距10
，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为
，现从船O上派下一只小艇沿
方向驶至处进行作业，且
．设

。

（1）用分别表示
和
，并求出的取值范围；

（2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线
的距离为
，求BD的最大值．

18．（12分）在四棱锥
中，
，
，点
是线段
上的一点，且
，
．

（1）证明：面
面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率； （2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

20.（13分）已知数列
中,
且点
在直线
上。

(1)求数列
的通项公式；

(2)若函数
求函数
的最小值；

(3)设
表示数列
的前项和.试问:是否存在关于的整式
,使得

对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出
的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。

21. （14分）设函数
,
.

（1）求
的极大值；

（2）求证：

（3）当方程
有唯一解时，试探究函数
与
的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.

成都外国语学校2015届11月理科数学试题

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

Ｄ

Ｂ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ｄ

Ｄ



二、填空题

11、
； 12、40；13、
；14、
；15、①②③

三、解答题

16、解：

--------------------------5分

故
-------------------------6分

在
为减函数，故
， ------------------8分

又命题
，命题
，是必要不充分条件，故
-----------10分

且
，从而
------------12分

17、解：（1）在
中，
，
，

由余弦定理得，
，

又
，所以
①， ……1分

在
中，
，

由余弦定理得，

②， ………3分

①+②得
，

①-②得
，即
， …………4分

又
，所以
，即
，

又
，即
， 所以
………………………6分

（2）易知
，

故
， ………………………8分

又
，设
，

所以
， ……………………………9分

又
……………………………10分

则
在
上是增函数，

所以
的最大值为
，即BD的最大值为10． ……………………12分

（利用单调性定义证明
在
上是增函数，同样给满分；如果直接说出

上是增函数，但未给出证明，扣2分．）

18．解：（1）由
，得
，

又因为
，且
，所以
面
， ……4分

且
面
．所以，面
面
。 ……6分

（2）过点
作
，连结
，

因为
，且
，

所以
平面
，又由
平面
，

所以平面
平面
，平面
平面
，过点
作
，即有
平面
，所以
为直线
与平面
所成角． ……9分

在四棱锥
中，设
，则
，
，
，∴
，

从而
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
．…12分

20、

法二：先由n=2,n=3的情况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明。

21、解：（1）
由
得













0







递增

极大值

递减





从而
在
单调递增,在
单调递减.

……………………………………………………4分

（2）证明：

………………………………6分

分别令

，
，

……………………9分

（3）解：由（1）的结论：方程
有唯一解