德阳五中2015届高三上学期第三次月考数学（文）试题

说明：

本试卷分第I卷和第II卷，第I卷1—2页，第II卷3—4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.

本试卷满分150分,120分钟完卷.

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确的选项填涂在答题卡上).

1．已知集合
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2．设平面
与平面
相交于直线
，直线
在平面
内，直线
在平面
内，且
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．直线
, 若
则
（ ）

A．
B．2 C．3或
D．
或2

4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图

中的
的值是（ ） A．2 B．
C．
D．3

5．已知角
的终边在第四象限，且与单位圆交于
,则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6．阅读右侧的算法框图，输出的结果
的值为
（ ）

A．

B．

C．0
D．

7．若
,
,
,
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

8．由不等式组
围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于
的函数
，则(　　)

A．
B．
C.
D．
符号不确定

9．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，以坐标原点
为圆心，
为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为
,则当
的面积等于
时，双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．2

10．已知
,若关于
的方程
恰好有4个不相等的实数根,则实数
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第II卷(非选择题 共100分)

二、填空题(共5小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卷上)

11．已知复数
为实数，
为虚数单位，则实数
的值为 .

12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130
内的学生中选取的人数应为 ．

13．已知矩形
中，
，
，
分别为
、
的中点，则
.

14．在△
中，
分别是角A、B、C所对的边，若

，若则
的最大值为 .

15．已知
是函数
图象上的任意一点，
是该图象的两个端点， 点
满足

，（其中
是
轴上的单位向量），若

在区间
上恒成立，则称
在区间
上具有 “
性质”.现有函数：

①
; ②
； ③
； ④
.

则在区间
上具有“
性质”的函数为 .

三、解答题(本小题共6个小题, 共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）设数列
是一个公差为
的等差数列，已知它的前10项和为
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前
项和
．

17. （本小题满分12分）

某工厂生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于7.5为正品,小于7.5为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测,检测结果记录如下:

A

 7

7

 7.5

 9

9.5



 B

 6



 8.5

 8.5





由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得B元件最后一次检测结果比第二次检测结果多1，且A,B两种元件的检测数据的平均值相等。

（I）求被污损表格中的值；

（II）若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率.

18. （本小题满分12分）

设函数
图像上的相邻的最高点与最低点之间的距离为
．

（1）求
的值及单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为
，且
，
，求
的值域．

19．（本小题满分12分）定义函数
(
为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的
的模.若模存在最大值，则称之为函数
的长距；若模存在最小值，则称之为函数
的短距.

(1)分别判断函数
与
是否存在长距与短距，若存在，请求出;

(2)对于任意
是否存在实数
，使得函数
的短距不小于2，若存在，请求出
的取值范围；不存在，则说明理由？

20．（本小题满分13分）．已知二次函数
+
的图象通过原点，对称轴为
，
．
是
的导函数，且

．

（1）求
的表达式（含有字母
）；

（2）若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式；

（3）在（2）条件下，若
，
，是否存在自然数
，使得当
时

恒成立?若存在，求出最小的
；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

已知函数
，其中
且
.

（1）讨论
的单调性；

(2) 若不等式
恒成立，求实数
取值范围；

（3）若方程
存在两个异号实根
，
，求证：

数 学 试 卷（文史类）(参考答案)

一：选择题（每题5分，共10小题）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



D





D

 B

C

C

B



D



二：填空题（每小题5分，共5小题）

11.
12. 10 13.

14.
15. ①②③④

三：解答题

16.解：（1）设数列{an}的前
项和为
，

∵S10 = 110，∴
．

则
．① ……2分

∵a1，a2，a4 成等比数列，

∴
，即
．∴
． …… 4分

∵d ( 0，∴a1 = d．②

由①，②解得
，∴
． … … 6分

（2）∵
=
， ……… 7分

∴
． ……… 8分

∴


． ……… 12 分

17.解：设
元件第二次和最后一次检测结果分别是

∵
由

又
，
……5分

元件第二次检测结果为8，最后一次检测结果为9.………6分

（2）记被检测的5件
元件分别为
其中
为正品。

从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：

………8分，

记“2件都为正品为事件包含以下6个基本事件：

，
………10分

.即2件都为正品的概率为
.………12分

18. 解：（1）
，………2分

由条件，
.
………4分

令


………5分

解得单调递增区间:

………6分

（2）由余弦定理：

……7分

又
，故
，

又
，故
……9分

由
，

，所以
的值域为
.………12分

19. 解：（1）设
（当且仅当
取得等号）

短距为
，长距不存在。 3分

（2）设

短距为
，长距为5。 6分

（2）设

函数
的短距不小于2

即
对于
始终成立 7分

当
时：
对于
始终成立
9 分

当
时：取
即可知显然不成立 10分

当
时：
对于
始终成立

综上
12分

20. 解析：（1）由已知，可得
，
， 1分

∴
解之得
，
3分

4分

（2）

5分

=
8分

（3）

9分

（1）

（2）

（1）—（2）得：
… 11分

=
，即
，当
时，
… 12分

，使得当
时，

恒成立 13分

21.解: (１)
的定义域为
.

其导数
1分

时,
,函数在
上是增函数; 2分

②当
时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
．

所以,
在
是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分

(２)令
,则

问题化为求
恒成立时
的取值范围.

由于
……5分

①
，此时无最小值 7分

②当
，

在区间
上,
;在区间
上,
. 8分

的最小值为
,所以只需

即
,
,
10分

(３)由于
存在两个异号根
，不仿设
，因为
,所以

构造函数:
(
)…………………11分

所以函数
在区间
上为减函数.

,则
,

于是
,又
,
,由