满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必先认真按要求填写、填涂本人姓名、学号、班级在答题卡的相应位置上；

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；

3．答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；

5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）

1.已知为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数

的模等于（　　）

A．
　 B．
C．
D．

2.如图所示的程序框图的输入值
，则输出值的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的

四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体

的体积是（ ）

A．
B．6 C．4 D．

4.下列命题正确的个数是（ ）

①“在三角形
中，若
,则
”的逆命题是真命题；

②命题
或
，命题
则是的必要不充分条件；

③“
”的否定是“
”；

④从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行

某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；

A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知等比数列
的前n项和为
，且
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若函数
的图像向右平移
个单位后图像关于轴对称，则的最小正值是 （　 　）

A．
B．1 C．2 D．

7.已知实数
满足
则
的最大值为( )

A．4 B．6 C．8 D．10

8.已知菱形
的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
与轴相切于
点，且极小值为
，则
（ ）

A.12 B.15 C.13 D.16

10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当
时，
恒成立(
为函数
的导函数)；②对任意的
都有
，又函数
满足：对任意的
，都有
成立。当
时，
。若关于的不等式
对
恒成立,则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.
或

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）

11.已知函数
，则
的解集为

12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

13．在直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点
，且
，定义：
，称“
”为“
的正余弦函数”，若
，则
_________ .

14.如图，四边形
是边长为1的正方形，延长
至，使得
。动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
.则
的取值范围为________.

15.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”.定义如下：对于任意两个向量
，“
”当且仅当“
”或“
”。按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则对于任意
；

④对于任意向量
，若
，则
。

其中真命题的序号为__________

三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）

16．（12分）集合
，
，若命题
，命题
，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。

17.（12分）如图，海上有
两个小岛相距10
，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为
，现从船O上派下一只小艇沿
方向驶至处进行作业，且
．设

。

（1）若
，求出的取值；

（2）用分别表示
和
，并求出的取值范围.

18．（12分）在四棱锥
中，
，
，点
是线段
上的一点，且
，
．

（1）证明：面
面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（12分）新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”。到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数

分组

频数

频率

光盘族占本组比例



第1组

[25,30)

50

0.05

30%



第2组

[30,35)

100

0.10

30%



第3组

[35,40)

150

0.15

40%



第4组

[40,45)

200

0.20

50%



第5组

[45,50)

a

b

65%



第6组

[50,55)

200

0.20

60%



 （1）求
的值，并估计本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例；

（2）从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食

宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。

20.（13分）已知数列
中,
且点
在直线
上。

(1)求数列
的通项公式；

(2) 若函数
,求函数
的最小值；

(3)设
表示数列
的前项和.试求出关于的整式
,使得

对于一切不小于2的自然数恒成立.(不用证明)

21. (14分)已知函数
.

(I)当
时,求
的单调区间

(Ⅱ)若不等式
有解,求实数m的取值菹围；

(Ⅲ)定义：对于函数
和
在其公共定义域内的任意实数
，称
的值为两函数在
处的差值。证明:当
时,函数
和
在其公共定义域内的所有差值都大干2。

成都外国语学校2015级11月月考文科数学试题

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

A

C

D

D

C

D

B

D



二、填空题

11、
；12、600；13、
；14、
；15、①②③

三、解答题

16、解：

--------------------------5分

故
-------------------------6分

在
为减函数，故
， ------------------8分

又命题
，命题
，是必要不充分条件，故
-----10分

且
，从而
------------12分

17、解：(1)

（2）在
中，
，
，

由余弦定理得，
，

又
，

所以
①， ……7分

在
中，
，

由余弦定理得，

②， ………9分

①+②得
，

①-②得
，即
， …………10分

又
，所以
，即
，

又
，即
， 所以
………………………12分

18．解：（1）由
，得
，

又因为
，且
，所以
面
， …4分

且
面
．所以，面
面
。 ……6分

（2）过点
作
，连结
，

因为
，且
，

所以
平面
，又由
平面
，

所以平面
平面
，平面
平面
，过点
作
，

即有
平面
，所以
为直线
与平面
所成角． ……9分

在四棱锥
中，设
，则
，
，
，∴
，
，从而
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
． …12分

（2）年龄段在
的“光盘族”的人数为
人，年龄段在
的“光盘族”人数为
人，采用分层抽样方法抽取8人中
的“光盘族”有3人，在
的有5人，记
中的3人为
，
的5人记为
，则选取2人做领队有：

共28种 …………10分

其中分别来自
与
两个年龄段的有：

共15种……11分

所以分别来自
与
两个年龄段的概率
…………12分

20、

（2）

法二：先由n=2,n=3的情况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明。