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| 简介：
高三理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项： 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。 一.选择题:本大题共10个小题,每个小题5分,共计50分.每个小题只有一个选项符合题意. 1.已知全集为,集合,,则( ) A. B. C. D. 2． 已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 4． 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14 5.已知，则sin2x的值为( ) A. B. C. D. 6． 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-1 A B C D 7．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( ) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 8．由函数和直线x=1，所围成的图形的面积等于 （ ） A． B． C． D． 9．已知函数则实数的取值范围是 ( ) A (-1,0) B C D 10. （ ） A．1 B．2 C3． D．4 第II卷（非选择题 共100分） 注意事项： 第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的位置内。书写的答案如需改动，请先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不按题号顺序答题或超出答题区域书写的答案无效；在试卷上答题不得分。二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在第Ⅱ答题纸上) 11．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________． 12．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 13．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于 14．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________． 15.已知，则函数的零点的个数为 _______个. 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.设向量 (I)若 (II)设函数
17． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 18．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． 19．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(100万元)可增加销售额约为－t2＋5t(100万元)(0≤t≤3)． (1)若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？ (2)现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(100万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(100万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大． 20. 已知函数. （Ⅰ）若，求在上的最大值； （Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）函数在区间（0,2）上有两个极值点，求的取值范围. 21. 已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数在上的极值 （Ⅲ）求实数的最小值； 威海一中2014－2015学年度高三理科数学试题答案 1----5 C C B C A 6—10 B C BA D 11 ±3 12 5x＋y -3=0 . 13 4 14．π 15. 5 16. 17．解： (1)由·＝2得c·a·cos B＝2， 又cos B＝，所以ac＝6. --------------2分 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B， 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. --------------4分 解得或 --------------5分 因为a＞c，所以a＝3，c＝2. --------------6分 (2)在△ABC中，sin B＝＝＝. -----------7分 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝. -----------8分 因为a＝b＞c，所以C为锐角， -----------9分 因此cos C＝＝＝. -----------10分 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. -----------12分 18．解：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin， -----------5分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. -----------6分 (2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，-----------8分 f＝－，f＝－，f＝， -----------11分 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. -----------12分 19． (1) 解：(1)设投入广告费t(100万元)后由此增加的收益为f(t)(100万元)， 则f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当t＝2时，f(t)max＝4. 即集团投入200万元广告费，才能使由广告费而产生的收益最大． -----------6分 (2)设用于技术改造的资金为100x万元，则用于广告的费用为100(3－x)万元，则由这两项所增加的收益为 g(x)＝（－x3＋x2＋3x）＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤t≤3)． 对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)． 当0≤x<2时，g′(x)>0，即g(x)在[0，2)上单调递增； 当2 ∴当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝. 故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，使集团由此所产生的收益最大，最大收益为万元． -----------12分 20.解：（Ⅰ）若，则，， -----------1分 ∵∴，∴在上为增函数， -----------2分 ∴ -----------3分 （Ⅱ）方法一：要使，恒成立，只需的最小值-----------5分 令则 恒成立， 上单调递减， -----------7分 的最小值为所以，. -----------8分 方法二：要使，恒成立，只需时， 显然当时，在上单增， ∴，不合题意； -----------5分 当时，，令， 当时，，当时， ①当时，即时，在上为减函数 ∴，∴； -----------6分 ②当时，即时，在上为增函数 ∴，∴； ③当时，即时， 在上单增，在上单减 -----------7分 ∴ ∵，∴，∴成立； 由①②③可得 ----------8分 21. 解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① --------------1分 ，∴② --------------2分 ①②联立，解得∴ -------------4分 （Ⅱ） --------------5分 --------------6分 x (0，1) 1 (1,+) F′(x) ＋ 0 － F(x) 单增 极大值 单减 --------------7分 --------------8分 （Ⅲ），∴在上恒成立； 即在恒成立； 设，， --------------9分 ∴只需证对于任意的 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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