银川一中2015届高三年级第四次月考

数 学 试 卷（理）

　　　　　　　　　　　 命题人：蔡伟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
（其中i为虚数单位）的虚部是

A．
B．
C．
D．

2. 已知：
若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

3．设
为等比数列
的前
项和，已知
,则公比

A．
B．
C．
D．

4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则该四棱锥的体积等于

A．1　　　 B．2　　　　

C．3　　　 D．4

5．在
中，
的对边分别是
，其中

，则角A的取值一定

属于范围

A．
B．

C．
D．

6．为得到函数
的导函数图象，只需把函数
的图象上所有点的

A．纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标向左平移

B．纵坐标缩短到原来的
倍，横坐标向左平移

C．纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标向左平移

D．纵坐标缩短到原来的
倍，横坐标向左平移

7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面 ABC

8．已知函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．在
中，若
，则
面积的最大值为

A．
B．
C．
D．

10．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的长为

A． B． C． D．

11．设
满足约束条件
，若目标函数
的值是最大值为12，则
的最小值为

A．
B．
C．
D． 4

12．已知函数
，若
恒成立，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________.

14．已知
(
为自然对数的底数),函数

,则
__________.

15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体

ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，

则点M到直线AD1距离的最小值是________．

16．定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，如果函数
，
，
（
）的“新驻点”分别为
，
，
，那么
，
，
的大小关系是 ．

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知函数
的最大值为
．

（1）求常数
的值；

（2）求函数
的单调递增区间；

（3）若将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

18. （本小题满分12分）

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，

PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；

(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．

19．（本小题满分12分）

已知数列
中，
，前项和
．

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设数列
的前项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数都成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B

的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；

(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
为无理数，
）

（1）求函数
在点
处的切线方程；

（2）设实数
，求函数
在
上的最小值；

（3）若
为正整数，且
对任意
恒成立，求
的最大值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F。

（1）求证：A，E，F，D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

在直角坐标系中，以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

，已知过点
的直线
的参数方程为

（
为参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求
的值．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数
(
)和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是
.

(1)求
的值; (2)解不等式
.

宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

B

D

C

C

D

C

D

A

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.
14. 7 15. a 16.
>
>

三、解答题：

17.（1）

，

（2）由
，解得

，所以函数的单调递增区间

（3）
将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，

当
时，
，
取最大值

当
时，
，
取最小值-3.

18. [解析]　(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，

所以OE∥PA.

因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，

所以OE∥平面PAC.

因为OM∥AC，

又AC?平面PAC，OM?平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos30°＝，AC＝1.

延长MO交CB于点D.

因为OM∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M(，，0)．

所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．

设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

因为

所以即

令z＝1，则x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，，1)．

所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝.

19. 解：（1）（解法一）∵

∴

∴

整理得

∴

两式相减得

即

∴
，

即

∴ 数列
是等差数列

且
，得
，则公差

∴

（解法二） ∵

∴

∴

整理得

等式两边同时除以
得
，

即

累加得

得

（2） 由（1）知

∴

∴

则要使得
对一切正整数都成立，只要
，所以只要

∴ 存在实数
，使得
对一切正整数都成立，

且
的最小值为

20. [解析]　如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．

(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.

(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．

设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则

即

不妨令x＝，可得m＝(，0，)．

同样的，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则

即

不妨令y＝，可得n＝(0，，)．

于是cos〈m，n〉＝＝＝，

从而sin〈m，n〉＝.

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.

(3)由N为棱B1C1的中点，得N.

设M(a，b,0)，则＝，

由MN⊥平面A1B1C1，得

即