吉林省长春外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。

2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。

3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.

1. 已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 若命题：
，命题：
，则下列命题为真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.下列函数既是奇函数，又是
上的增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知
,
,
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 若
成等比数列，则函数
的零点个数为（ ）

A. 0 B.1 C.2 D.以上都不对

7. 已知函数
，则
（ ）

A.
B. 2 C. 4 D. 8

8.函数
的定义域为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设随机变量
服从二项分布
，且
,
,则（ ）

A.
B.

C.
D.

函数
的值域为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.若
为定义在上的偶函数，
，当
时，
，则当
时，
（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
,若方程
恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.

13.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为_____________.

14.已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
___________.

15.直线
与圆
（
为参数）有公共点,则实数的取值范围是_____________.

16.函数
的零点个数为_____________.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(12分) 已知数列
是首项为1，公差不为0的等差数列，且
成等比数列

(1)求数列
的通项公式.

(2)若
,
是数列
的前项和，求证:
.

18.（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手
三人进行网上投票，结果如下

观众年龄

支持

支持

支持



20岁以下

200

400

800



20岁以上（含20岁）

100

100

400





（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.

（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量
表示抽取出3人中支持的人数，写出
的分布列并 计算
.

19.（12分）如图，在几何体
中，四边形

均为边长为1的正方形.

求证：
.

求二面角
的余弦值.

20.（12分）已知椭圆
的离心率为
，且短轴长为
，
是椭圆的左右两个焦点，若直线
过
，且倾斜角为
,交椭圆于
两点.

（1）求椭圆
的标准方程.

（2）求
的周长与面积.

21.（12分）已知函数
.

（1）当
时，求
的单调区间及极值.

（2）若
在区间
上是增函数，求实数的取值范围.

22.（10分）曲线
的极坐标方程为：
，直线
的参数方程为
，以直角坐标系的原点为极点，非负半轴为极轴建立极坐标系；

（1）求曲线
的直角坐标方程.

（2）若
、
分别为曲线
上的两个动点，求
的最小值.

参

参考答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

D

A

A

A

C

A

B

C

B



填空题：

13.
14.
15.
16.2

三、解答题：

17.（1）
（2）
；

18.（1）40

（2）

0

1

2















19.（1）证明
平面
；（2）

20.（1）
（2）8；

21.（1）减区间
，增区间
，极小值

22.（1）
；

（2）