银川一中2015届高三年级第四次月考

数 学 试 卷（文）

　　　　　　　　　　　 命题人：赵冬奎

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集
＜
，集合
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2．已知
是虚数单位，且复数
是实数，则实数
的值为

A．
B．
C．0 D．

3．下列各式正确的是

A．
B．
　

C．若
则
D． 若
则

4．已知
的值是

A．
B．
C．
D．

5．已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于

A．－10 B．－8 C．－6 D．－4

6．下列命题错误的是

A．命题“
”的逆否命题是若
或
，则

B．“
”是”
”的充分不必要条件

C．命题
：存在
,使得
，则
：

任意
,都有

D．命题“
或
”为真命题，则命题“
”和命题“
”均为真命题

7．已知三棱锥的底面是边长为
的正三角形,其正视图与俯视图

如图所示,则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩
（如图），要测算
两点的距离，测量人员在岸边定出基线
，测得
，

，就可以计算出
两点的距离为

A．
B．

C．
D.

9．已知函数
的图象如图(其中
是函数
的导函数),下面四个图象中,
的图象可能是

10．已知直线
，平面
，且
，给出四个命题：

①若
∥
，则
； ②若
，则
∥
；

③若
，则l∥m； ④若l∥m，则
．

其中真命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

11．已知函数
满足对任意的实数
都有

成立,则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

12．已知
，则方程
所有实数根的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设变量
满足约束条件：
,则目标函数
的最小值为 .

14. 已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .

15．已知三棱柱
的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,
AC=1,
,则球的表面积为_________.

16．下面四个命题：

①已知函数
且
，那么
；

②要得到函数
的图象，只要将
的图象向左平移
单位；

③若定义在
上的函数
，则
是周期函数；

④已知奇函数
在
为增函数，且
，则不等式
的解集
.

其中正确的是__________________.

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

设等差数列
的前
项和为
,且
(
是常数,
),
.

(1)求
的值及数列
的通项公式;

(2)证明:
.

18. (本小题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD＝60°,

PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积V.

19．（本小题满分12分）

己知函数

的部分图象如图所示.

(1)求函数
的解析式；

(2)若
，求
的值.

20．（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；

(2) 若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；

(3) 若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否

存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定

点E的位置；若不存在，请说明理由．

21. （本小题满分12分）

设函数
,其中a为正实数.

(l)若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;

(2)若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线
与曲线
在
交点个数.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F。

（1）求证：A，E，F，D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

在直角坐标系中，以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

，已知过点
的直线
的参数方程为

（
为参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求
的值．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数
(
)和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是
.

(1)求
的值;

(2)解不等式
.

宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

C

B

C

D

A

A

B

C

B

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 1 14.
15. 8
16. ③

三、解答题：

17. (Ⅰ)解:因为
, 　　

所以当
时,
,解得
,

当
时,
,即
,解得
, 　　所以
,

解得
;

则
,数列
的公差
, 所以
.

(Ⅱ)因为

.

因为
所以

18.（1）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥P C．

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．

（2）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2
，AD＝4．

∴SABCD＝

．

则V＝
．

19.

20．解析：（1）由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1;

又因为AC⊥BC ，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1 ．

由于B1C1
平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1 ．

（2）由（1）知，B1C1⊥A1C ．所以，若AB1⊥A1C，则可

得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥ AC1 ．

由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1．

（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1．

证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE．则易证：平面DEF//平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1．

证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EG
DC1. 所以DE// C1G，DE∥平面AB1C1．

21. 【答案】解:(1) 由
得

的定义域为:

函数
的增区间为
,减区间为

(2)由

若
则
在
上有最小值

当
时,
在
单调递增无最小值

∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立 ∴
-------

综上所述
的取值范围为
--------

此时
即
,

则 h(x)在
单减,
单增,

极小值为
. 故两曲线没有公共点

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：

，

.

在正△
中，
，

，

又
，
，

△BAD≌△CBE，

，

即
，所以
，
，
，
四点共圆. …………………………（5分）

（Ⅱ）解：如图6，取
的中点
，连结
，则
.

，

，

，
，

△AGD为正三角形，

，即
，

所以点
是△AED外接圆的圆心，且圆
的半径为
.

由于
，
，
，
四点共圆，即
，
，
，
四点共圆
，其半径为
.…（10分）

2３解：（Ⅰ）C:

（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为
由题意知，

代入得

24．解: (1)不等式
恒成立,即
对于任意的实数
(
)和
恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为
,当且仅当
时等号成立,即
时,
成立,也就是
的最小值是2.

(2)
. 解法1:利用绝对值的意义得:

解法2:当
时,原不等式化为
,解得
,所以
的取值范围是
.当
时,原不等式化为
,得
的取值范围是
.当
时,原不等式化为
,解得
,

所以
的取值范围是
.综上所述:
的取值范围是
.

解法3:构造函数
作

的图象,利用图象有
得:
. 1