2014—2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷

（考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

1．已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

2．下列四个命题：

p1：?x∈(0，＋∞)，<　　 p2：?x∈(0，1)，logx>logx

p3：?x∈(0，＋∞)，>logx p4：?x∈，

其中的真命题是

A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4

3．如图所示，程序框图的输出结果是

A．
B．
C．
D．

4．由直线
，
，曲线
及轴

所围成图形的面积为

A．
B．
C．
D．

5．已知

为
的导函数，则
的图象是

6．如右图所示为函数
(
)

的部分图象,其中
两点之间的距离为
,

那么

A．
B． C．
D．

7. 已知函数
，若
恒成立，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8. 如图，半径为
的扇形
的圆心角为
，点
在

上，且
，若
，则

A．
B．
C．
D．

第II卷 （非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 曲线
在点
处的切线方程为 .

10. 向量、
满足
，
，与
的夹角为
，则
.

11. 设
是等差数列
的前项和，若
，则
＝ .

12. 已知
，若是的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 .

13．若函数
在
内有极小值，则实数的取值范围是 .

14．当n为正整数时，定义函数N(n)为n的最大奇因数．如N(3) ＝3，N(10) ＝5，….

记S(n) ＝ N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则S(3) ＝ ；S(n) ＝ .

三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

15．（本小题14分）

已知函数

的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及
的单调递增区间；

（Ⅱ）求
在
上的最大值和最小值．

16．（本小题13分）

在
中，角
的对边分别为
，已知
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
及
的值.

17．（本小题13分）

已知
是等比数列
的前项和，
，
，
成等差数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得
？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由.

18．（本小题13分）

已知

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
没有零点，求实数的取值范围.

19．（本小题14分）

已知函数
（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设函数
，若存在
，使得
成立，求实数的取值范围．

20．（本小题13分）

对于项数为的有穷数列
，设
为
中的最大值，

称数列
是
的控制数列．例如数列
的控制数列是
.

（Ⅰ）若各项均为正整数的数列
的控制数列是
，写出所有的
；

（Ⅱ）设
是
的控制数列，满足
（
为常数，
）.

证明：
（
）.

（Ⅲ）考虑正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
．是否

存在数列
，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列
的个数；若不存在，请说明理由．

2014—2015学年度第一学期第一次月考

高 三 数 学（理）试 卷 答 案

（考试时间120分钟 满分150分）

2．下列四个命题：

p1：?x∈(0，＋∞)，<　　 p2：?x∈(0，1)，logx>logx

p3：?x∈(0，＋∞)，>logx p4：?x∈，

其中的真命题是

A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4

解：D．

3．如图所示，程序框图的输出结果是

A．
B．
C．
D．

解：
，选C．

4．由直线
，
，曲线
及轴

所围成图形的面积为

A．
B．
C．
D．

解：
，选D．

5．已知

为
的导函数，则
的图象是（ ）

解：
，
，因其为奇函数，排除B和D；结合函数值的正负，又可排除C．故选 A．

6．如右图所示为函数
(
)

的部分图象,其中
两点之间的距离为
,

那么

A．
B． C．
D．

解：
两点之间的水平距离为
，
，
，
.
.

又由
，得
，因
，故
.
,

所以

，故选B．

7. 已知函数
，若
恒成立，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

解：分别作出
与
的图象，

，令
，得
或
（舍），选C．

8. 如图，半径为
的扇形
的圆心角为
，点
在

上，且
，若
，则

A．
B．
C．
D．

解：A．

第II卷 （非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 曲线
在点
处的切线方程为 .

解：
，
，切线方程为
，

即
. 或写成
.

10. 向量、
满足
，
，与
的夹角为
，则
.

解：
,
,

.

11. 设
是等差数列
的前项和，若
，则
＝ .

解：
.

12. 已知
，若是的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 .

解：
,
.

13．若函数
在
内有极小值，则实数的取值范围是 .解：

，令
，解得
.

14．当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3) ＝3，N(10) ＝5，….

记S(n) ＝ N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则S(3) ＝ ；S(n) ＝ .

解：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(1)＝N(1)＋N(2) ＝2.

S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]

　 ＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]

　 ＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋2＝22.

S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]

＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，

∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥2)，

∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋2＝.

注：本题第一空3分；第二空2分.

三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

15．（本小题14分）

已知函数

的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及
的单调递增区间；

（Ⅱ）求
在
上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋- -----------------2分

＝sin＋. -----------------4分

∵ω>0，∴T＝
＝π，∴ω＝1.　 -----------------5分

故f(x)＝sin＋.

令
，解得
.

的单调递增区间为