盐城市2015届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1. 若集合
，集合
，则
▲ .

2．命题“若
, 则
”的否命题为 ▲ .

3．函数
的最小正周期为 ▲ ．

4．若幂函数
的图象过点
，则
= ▲ ．

5．若等比数列
满足
，
，则
▲ .

6．若
均为单位向量，且
，则
的夹角大小为 ▲ .

7．若函数
是奇函数，则
▲ .

8．已知点
是函数
图象上一点，则曲线
在点
处的切线斜率的最小值为 ▲ .

9．在等差数列
中，
是其前
项和，若
，则
= ▲ .

10．在
中，
分别为角
的对边，若
，

，
，则
= ▲ .

11．如图，在等腰
中，
，
为
中点，点
、
分别在边
、
上，且
，
，若
，则
= ▲ .

12．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 ▲ .

13. 设函数
的图象在
轴上截得的线段长为
，记数列
的前
项和为
，若存在正整数
，使得
成立，则实数
的最小值为 ▲ .

14．已知函数
，若命题“
，且
，使得
”是假命题，则实数
的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15. (本小题满分14分)

已知函数
满足
，且
图象的相邻两条对称轴间的距离为
.

（1）求
与
的值；

（2）若
，
，求
的值.

17. (本小题满分14分)

设△
的面积为
，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，且角
不是最小角，求
的取值范围．

18. (本小题满分16分)

如图是一块镀锌铁皮的边角料
，其中
都是线段，曲线段
是抛物线的一部分，且点
是该抛物线的顶点，
所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，
2米，
米，
，点
到
的距离
的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形
（其中点
在曲线段
或线段
上，点
在线段
上，点
在线段
上）. 设
的长为
米，矩形
的面积为
平方米.

（1）将
表示为
的函数；

（2）当
为多少米时，
取得最大值，最大值是多少？

19. (本小题满分16分)

设数列
的前
项和为
，且
.

（1）若
是等差数列，求
的通项公式；

（2）若
.

① 当
时，试求
；

② 若数列
为递增数列，且
，试求满足条件的所有正整数
的值.

20. (本小题满分16分)

已知函数
，
，
.

（1）若曲线
与直线
相切，求实数
的值；

（2）记
，求
在
上的最大值；

（3）当
时，试比较
与
的大小.

盐城市2015届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.
2. 若
, 则
3.
4.
5. 27 6.
7. 2

8.
9. 12 10.
11.
12.
13. 13 14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）

，

，解得
， ……………2分

， ……………4分

图象的相邻两条对称轴间的距离为
，

，

. ……………6分

（2）

，

， ……………8分

，

，

，即
， ……………10分

，又
，

. …………14分

16．解：（1）由
，解得
，所以
， …………2分

又函数
在区间
上单调递减，所以
，即
， …………4分

当
时，
，所以
. …………6分

（2）首先要求
， …………8分

而“
”是“
”的必要不充分条件，所以
，即
， …………10分

从而
， …………12分

解得
. …………14分

17．解：（1）设
中角
所对的边分别为
，由
，

得
，即
， …………2分

所以
， …………4分

又
，所以
. …………6分

（2）因为
，所以
， 由正弦定理，得
，

所以
， …………8分

从而
…………10分

， …………12分

又
，所以
. …………14分

（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）

18．解：（1）以点
为坐标原点，
所在直线为
轴，

建立平面直角坐标系. …………2分

设曲线段
所在抛物线的方程为
，

将点
代入，得
，

即曲线段
的方程为
. …………4分

又由点
得线段
的方程

为
. …………6分

而
，

所以
…………8分

（2）①当
时，因为
，

所以
，由
，得
， …………10分

当
时，
，所以
递增；

当
时，
，所以
递减，所以当
时，
； …………12分

②当
时，因为
，

所以当
时，
； …………14分

综上，因为
，所以当
米时，
平方米. …………16分

（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）

19．解：（1）由等差数列求和公式
，

……………2分

，

，解得
，

； ……………4分

（说明：也可以设
；或令
，先求出首项
与公差
）

（2）由
，

得
， ……………6分