韶关市2015届高三级十校联考理科数学试题

命题人 乳源高级中学莫绍贵

本试卷共4页，21题，满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、

座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

5．参考公式：如果事件
相互独立，那么

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知全集
，集合
，集合
，则

（ ）

A．
；B．
；C．
；D．

2．已知是实数，
是纯虚数，则等于（ ）

A.；B.
；C.
；D.

3. 若实数
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为（ ）

A.；B．
；C.
；D.

4．若两个向量
与
的夹角为
，则称向量“
”为“向量积”，其长度

。已知
，
，则
等于（ ）

A．-4；B．3；C．4；D．5

5．已知，为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．
；B．

C．
；D．

6．将函数
的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）

A.
；B．
；C.
；D.

7．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,点在椭圆上,则
的最大值是（ ）

A.
；B．
；C.
；D.

8．设
表示不超过的最大整数（如
，
）。对于给定的
，

定义
，
，则当
时，函数

的值域为（ ）

A．
；B．
；C．
；D．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分。每小题5分，共30分）

（一）必做题：第9至第13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．
　　　　

10．不等式
的解集为

11．如图,按如下程序框图，若判断框内的条件为
，则输出的结果为

12．在
的展开式中常数项为
，则常数的值为

13．设偶函数
满足
，则使
成立的的取值范

围是

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只按第一题计分。

14．（坐标系与参数方程选做题）曲线
：
（
为参数）上的点到曲线

：
（为参数）上的点的最近距离为

15．(几何证明选讲选做题)如图,若直角
的内切圆与斜边
相切于点,且
,
,则
的面积为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本题满分12分）已知函数
.

（1）若
，求
的值；

（2）求函数
的单调增区间.

17．（本小题12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
，且各阶段通过与否相互独立．

（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为
，求
的分布列与方差．

18．（本小题满分14分）图（1）是长方体截去一个角后得到的几何体，其中底

面
是正方形，
为
中点，图（2）是该几何体的侧视图。

（Ⅰ）判断两直线
与
的位置关系，并给予证明；（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的大小。

19．（本小题满分14分）已知在数列
中，
，当
时，其前项和
满足
。

(Ⅰ) 求
的表达式；

(Ⅱ) 设
，数列
的前项和
．证明

20．（本小题满分14分）如图所示，已知圆
为圆上一动点，点在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线.

（I）求曲线的方程；

（II）若过定点
的直线交曲线于不同的两点
（点在点
之间），且满足
，求的取值范围.

21．（本小题满分14分）已知函数

（1）当
时，比较
与1的大小；

（2）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；

（3）求证：对于一切正整数，都有

韶关市2015届高三十校联考理科数学

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案



















1．[解析]因为
，
，
，所以

，故选

2．[解析]因为
是纯虚数，

所以
，即
，所以应选择

3．[解析]作出可行域如图中的阴影部分所示

显然当直线
时过点时

取得最小值，而通过解方程组

得点坐标为

由题意得的最小值为
，所以
，故选择

4．[解析]由已知得
，所以
，所以

根据定义，知
，所以选

5．[解析]由
及
，
知直线与有可能是异面直线，故是错误的；由
及
知直线有可能在平面内，故错误；若一个平面垂直于两条平行线中的一条，必然也垂直于另一条，故
正确，应选

6．[解析]将函数
的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
，即
，也即

，应选

7．[解析]若椭圆的方程知其长半轴的长为，则

因为
（当且仅当
时取“=”）

故选

8．[解析]依定义，当
时，
，
，因
在
上是减函数，所以
，即

当
时，
，

因为函数
，即
在
上是增函数，

所以
，即
，从而
，即

所以函数
的值域为
，所以选择

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．
；10．
；11．
；12．
；13．
或
；14．
；15．

9．[解析] 因为
，所以

10．[解析]利用绝对值的几何意义得不等式的解集为

11．[解析]由题意知输出

12．[解析]
展开式的通项为
，

由题意得当
，即
时，
，所以

13．[解析]因为
，且
是偶函数，所以不等式
即为
，又由
，知
是增函数，

所以由不等式
得
，解得
或

14．[解析]曲线
的普通方程为
，曲线
的普通方程为

，显然曲线
上的点到曲线
上的点的最远距离为

15．[解析] 设
到
的内切圆的切线长为，

因为
,
，则
，

由
是以
为斜边的直角三角形得

，即

所以
的面积为

三、解答题

16．解：（1）
…………2分
…………………………3分

由
，可得
…………………………5分

所以

…………………………7分

(2)当
， ……………………9分

即
时，
单调递增.

所以，函数
的单调增区间是
………12分

17．解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则
………………2分

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率
………………4分

（2）
可能取值为1，2，3．………………5分

，
，
…………8分

1

2

3



P










的分布列为：

………………9分

的数学期望为
……………10分

的方差为
…………………12分

18．解：（I）直线
和
是相交直线．……………………1分

证明：（方法一）连结
设
与
相交于点
，连结
（如图）

则四边形
是平行四边形…………………2分

∴
且
，∴
且
，

∴
四点共面……………………4分

又∵
，

∴
与
必相交……………………6分

（方法二）（向量法）

由长方体的性质知，
两两垂直，又由侧视图知：
，如图，以为原点，分别以
、
、
为、、轴，建立空间直角坐标系……2分

∴相关各点坐标为：
，
，
，
，

，
，
，
，

∴
，

，
…………4分

∵
，∴
，

即
四点共面…………5分

又∵不存在
，使得
，∴
与
不平行，

∴
与
相交…………………………6分

（II）由长方体的性质知，
两两垂直，如图，以为原点，分别以
、
、
为、、轴，建立空间直角坐标系．…………………… 7分

又由侧视图知：
…………………… 9分

∴相关各点坐标为：
，
，
，
，

，
，
，
，

∴
，…………………… 10分

又平面
的一个法向量是

记直线
与平面
所成角为

∵
，
，

∴
…………………… 12分

又∵
，∴
……………… 13分

∴直线
与平面
所成角为
．…………………………14分

19．解：(1)当
时，
代入
，得

… 2分，由于
，所以
………………… 4分

所以
是首项为，公差为2的