韶关市2015届高三级十校联考试题（文科数学）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

【注意事项】

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、试室号、座位号填写在答题卷相应位置上。

2．必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不按以上要求作答的答案无效。

3．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合
，
，那么
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设为虚数单位，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.命题“
”的否定是( )

A．
B．

C．
D．

4．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )

A.
B.
C.
D.

5．设
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

6.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为
，则双曲线的离心率
（ ）

A.5 B.
C.
D.

7.阅读右图所示程序框图，运行相应的程序，输出S的值等于（ ）

A. -3 B. -10 C. 0 D. -2

8. 已知
为异面直线，
平面，
平面
，
，则直线
（ ）

A. 与
都相交 B. 与
都不相交

C. 与
中至少一条相交 D. 至多与
中的一条相交

9．设
，若函数
，
，有大于
的极值点，则（ ）

A、
B、
C、
D、

10．设
是
内一点，且
，
.定义
，其中
分别是
的面积. 若
，则
的最大值是（ ）A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

（一）必做题（11—13题）

11. 某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是 个。

12．在
中，
，则角
＝　　　　　　　　　.

13．将正整数排成下表：　1　2 3

4 5 6

7 8 9 10

　………………………………………………

　其中排在第行第
列的数若记为
，例如：
，则
＝　　　 　.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点
、
，则
.

（几何证明选讲选做题）如下图所示，
是半径等于
的圆
的直径，
是圆
的弦，
的延长线交于点，若
，
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）若点
在角的终边上，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值域.

17.（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：

教师年龄

5年以下

5年至10年

10年至20年

20年以上



教师人数

8

10

30

18



经常使用信息技术实施教学的人数

2

4

10

4



（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率.

（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？

（本小题满分14分） 如图，矩形
中，
，
．，分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

19.（本小题满分14分）

已知在正项数列
中，
表示数列
前项和且

，数列
的前项和。

(I) 求
;

(II)是否存在最大的整数,使得对任意的正整数均有
总成立?若存在,求出;若不存在,请说明理由,

20．（本题满分14分）

在平面直角坐标系
中，抛物线
（其中
）上任意一点与点
的距离等于它到直线
的距离．

(I)求抛物线的方程；

(Ⅱ)若点
的坐标为
，
为抛物线上任意一点，是否存在垂直于轴的直线
，

使直线
被以
为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线
的方程；

若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知
在区间
上是增函数.

(1)求实数的取值范围；

(2)记（1）中实数的范围为集合，且设关于的方程
的两个非零实根为
.

①求
的最大值；

②试问：是否存在实数，使得不等式
对于任意
及
恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

韶关市2015届高三级十校联考文科数学参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

D

D

C

C

A

C

C

B



填空

110 12、
13、 2015 14、 7 15、

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、解：（Ⅰ）因为点
在角的终边上，

所以
，
， ………………2分

所以
………………4分

. ………………5分

（Ⅱ）

………………6分

， ………………8分

因为
，所以
， ………………10分

所以
， ………………11分

所以
的值域是
. ………………12分

17、解（Ⅰ）该校教师总人数为66人，其中经常使用信息技术教学的教师有20人，不经常使用信息技术实施教学的有46人，所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率
；………………………………………4分

（Ⅱ）在教龄10年以下的教师中，教龄在5年以下的有2人分别记为
；教龄5年至10年的有4人分别记为
,从这6人中任选2人的情况有：

，
,
共15种.……8分

设其中恰有一人教龄在5年以下为事件A，则事件A包含的基本事件有8种。……………10分

所以
………………………………………11分

答：在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是
。……………………………12分

18、【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形，

所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，

所以
∥平面
． ………4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
，

所以
平面
， ………5分

所以
． ………………6分

又
， 所以四边形
为正方形，所以
． …………7分

所以
平面
， …………8分

所以
． ……9分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．

由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为

． …11分

所以
． ………13分

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． ………14

19.解、（Ⅰ）

，………1分

当n≥2时，

整理得
………………3分

∵数列
各项为正，

∴
……………………4分

∴
………………5分

∴数列
是首项为1，公差为2的等差数列

∴
。………………6分

………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
………………8分

于是
………10分

易知数列
是递增数列，故T1=
是最小值，………………12分

所以只需

，即
，因此存在
符合题意。………………14分

20.解：（本题满分14分）

(I)由抛物线的定义知
是其焦点，且
…………3分

∴
，抛物线方程为=
…4分

(Ⅱ)设
则
的中点
的坐标为
……6分

设直线
的方程为
，则

点
到直线
的距离为
,……………………7分

…………8分

设所求弦长为，则

………11分

若弦长恒为常数，即的值与的值无关，

所以
………………13分

所以存在垂直于轴的直线
,使直线
被以
为直径的圆截得的弦长恒为常数，

此直线
的方程为
………………………………14分

解：（1）
.………………1分

在[-1，1]上是增函数；

即
，在
恒成立……①………………2分

设
，则由①得

　　………………4分

解得
所以，的取值范围为
.………………5分

（2）由（1）可知

由
即
得
………………7分

，设
，
是方程
的两个非零实根.

，
，………………8分

又
.

.………………10分

于是要使
即
对
及