衢州二中二○一四学年第一学期高三期中考试理科数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，设复数
，
，则
在复平面内对应的点在 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集
且
,
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．把函数
（
）的图象向左平行移动
个单位长度，再把所得图象的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．等差数列
的前项和
当首项
和公差
变化时，若
是一个定值，则下列各数中为定值的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．集合
，若
，则
，那么运算
可能是 （ ）

A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法

6．在
中，“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．如图，
为边长为2的等边三角形，若
，且
是线段
上的四等分点，则
的值是 （ ）

A．

B．

C．

D．

8．若函数
，则对于不同的实数，则函数
的单调区间个数不可能是 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．5个

9．若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）

A.

B．
C．2 D．

10．如图，函数
的图象为折线ABC，设
，

，，则函数
的图象为 （ ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．若抛物线的方程是
，则抛物线焦点的坐标为 ．

12．设
是定义在上、以1为周期的函数，若
在
上的值域为
，

则
在区间
上的值域为 ．．

13．若函数
有最小值，则a的取值范围是 ．

14．已知奇函数
是定义在上的增函数，数列
是一个公差为2的等差数列，满足
,则
的值为 ．

15．函数
在点处的切线与函数
在点
处切线平行，则直线
的斜率是 ．

16．椭圆
，直线的倾斜角为
，直线过
的右焦点
，且与
相交于
两点（
可互换），若
，则
的取值范围是 ．

17．已知函数
，若关于的方程
恰有6个不同的实数解，则
的取值情况可能的是： ．

①．
②．

③．
④．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，

求函数
在区间
上的取值范围．

19．已知
内角，，
的对边分别为，
，，其中
，
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）设
，求
的取值范围.

20．在等差数列
和等比数列
中，
，
，
，且
成等差数列，
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前和为
，若
恒成立，求实数的取值范围．

21．（本小题满分15分）椭圆的中心在坐标原点，长轴的端点为
，右焦点为，且
，
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线
，直线
与椭圆分别交于点
，直线
与椭圆分别交于点
，且
，求四边形
面积取最小值以及直线
，
的方程．

22．（本小题满分15分）设函数
．

（Ⅰ）当
时，若
在
上是单调函数，求的取值范围．

（Ⅱ）若
在
处取得极值，若方程
在
上有唯一解，则的取值范围为
，求
的最大值．

衢州二中二○一四学年第一学期高三期中考试参考答案——理科数学

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

C

A

B

A

B

D

B



二、填空题

11．
12．
13．
14．4007

15．
16．
17．①③④

三、解答题

18．解（Ⅰ）由三角函数的定义可得
，
，
，

故
；

（Ⅱ）
，

，

故函数
在区间
上的取值范围是

19．解（Ⅰ）由正弦定理得
，∴

（Ⅱ）在
中，由余弦定理得，
，

所以
，即
,

由题知关于
的一元二次方程应该有解，令
，

得
（舍去，因为
）或
,所以
.

，

∴
.

20．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
．

由题意，得
，解得
． ∴
，
． （Ⅱ）
．

∴


．

∴
．

∴
恒成立，即
．

令
，则
，所以
单调递增．

故
，即常数的取值范围是
．

21．解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，则由题意知
，由
得
，
，椭圆方程为
．

（Ⅱ） ①若直线
中有一条斜率不存在，不妨设直线
的斜率不存在，则
轴，

．

②若直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，则

得：
，设
，
，

则
，
，

同理
，

当且仅当
时，等号成立，综上四边形的面积的最小值为
，此时直线为
．

22．解：（Ⅰ）当
，

①
，则
在
上单调递增；

②当
时，
，
，则
在
上单调递增．

③
，令
解得
．
在
上单调递减．

综上得，a的取值范围是
．

（Ⅱ）
，定义域为

．

在
处取得极值，
．

即
所以

故
，

故
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．

所以
是
在
上的极小值，
是
在
上的极大值．

为使方程
只有唯一解的c的取值范围为
，

只有可能
，故只要求
的最大值．

，
．
．

记
，则
．

，

当
时，
，故
在
上单调递增；

当
时，
，故
在
上单调递减．

所以
的最大值为
．所以
的最大值为
．