一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分，共50分）

1.已知集合
=

A．
B．
C．
D．{—2，0}

2.已知
的终边在第一象限，则“
”是“
”

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分与不必要条件

3．设
表示三条不同的直线，
表示两个不同的平面，则下列说法正确的是

A．如∥，
，则∥；

B．如
，则
；

C．如
，则
；?

D．如∥，∥
，
，则∥．

4.函数
的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，
是图象与轴的交点，则

A.
B.

C.
D.

5. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于

A.
B.
C.
D.

6．函数
的图象如图所示，则
满足的关系是

A．
B．

C．
D．

7．数列
满足
，
，则

A．
B．
C．
D．

8．已知奇函数
上是单调减函数，且
，则不等式

的解集为

A．
B．

C．
D．

9．棱长为1的正方体
中，点
分别是线段
（不包括端点上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是

A．
B．
C．
D．

10．设函数
，区间M=[a，b](a

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个

二、填空题（每小题4分，共28分）

11．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为 ．

12．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为1，则
的最小值为 ．

13．已知
，为坐标原点，若
，则实数t的值为 ．

14．椭圆2x2+y2=1上的点到直线y=
x-4的距离的最小值是 ．

15．若
为
内一点，且满足
，则
与
的面积之比为 ．

16、数列{an}满足
，则
= ．

17．函数
在
上的最小值为
，则实数的取值范围为 ．

三、解答题（14+15+14+15+14，共72分，请写出必要的解题步骤）

18.（本小题满分14分）

（I）设全集为R，集合
,，若不等式
的解集是，求
的值。

（II）已知集合
，若
，求实数m的取值范围。

19.（本小题满分15分）

中，
，以
的中线
为折痕，将
沿
折起，构成二面角
．在面
内作
，且
．

（I）求证：
∥平面
；

（II）如果二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值．

20．（本题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2,
.

（I）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状并说明理由

（II）若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求a，b．

21．（本题满分15分）在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
．

（I）求
与
；

（II）证明：
≤
．

22. （本题满分14分）

对于函数
若存在
，
成立，则称
为
的不动点．已知

（I）当
时，求函数
的不动点；

（II）若对任意实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（Ш）在（2）的条件下，若
图象上、两点的横坐标是函数
的不动点，且、两点关于直线
对称，求
的最小值．

杭西高2013年9月考高三数学理科试卷答案

一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分）

1.已知集合
= （ C ）

A．
B．
C．
D．{—2，0}

2.已知
的终边在第一象限，则“
”是“
” （ D ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分与不必要条件

3．设
表示三条不同的直线，
表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（D ）

A．如∥，
，则∥；

B．如
，则
；

C．如
，则
；?

D．如∥，∥
，
，则∥．

4.函数
的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，
是图象与轴的交点，则
（ A）

A.
B.
C.
D.

5. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )

A.
B.
C.
D.

6．函数
的图象如图所示，则
满足的关系是( A )

A．
B．

C．
D．

7．数列
满足
，
，则
（D ）

A．
B．
C．
D．

8．已知奇函数
上是单调减函数，且
，则不等式

的解集为（B ）

A．
B．

C．
D．

9．棱长为1的正方体
中，点
分别是线段
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是（A） A．
B．
C．
D．

三、解答题

18.（1）设全集为R，集合
,，若不等式
的解集是，求
的值。

（2）已知集合
，若
，求实数m的取值范围。

19．
中，
，以
的中线
为折痕，将
沿
折起，构成二面角
．在面
内作
，且
．

（I）求证：
∥平面
；

（II）如果二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值．

解：（1）由
得
，所以
为等腰直角三角形，由为
的中点得
，以
的中线
为折痕翻折后仍有
，因为
，所以
∥
，又
平面
，
平面
，所以
∥平面
．

（2）如果二面角
的大小为
，由
得
平面
，因此
，又
，所以
平面
，从而
．由题意
，所以
中，
．设
中点为，因为
，所以
，且
，设
中点为，则
∥
，由
得
，所以
为二面角
的平面角，连结
，在
中，因为
，所以
．在
中
，于是在
中，
．在
中，
，所以在
中，
．因此二面角
的余弦值为
．

20．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2,
.

（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状并说明理由

（Ⅱ）若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求a，b．

.解　(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4. …………2分

又因为△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4. …………4分

联立方程组解得 …………7分

(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，

即sin Bcos A＝2sin Acos A. …………9分

当cos A＝0，即A＝时，B＝，a＝，b＝； …………11分

当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理，得b＝2a. …………12分

联立方程组解得 …………14分

21.在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
．

（Ⅰ）求
与
；（Ⅱ）证明：
≤
．

22.对于函数
若存在
，
成立，则称
为
的不动点．已知

（1）当
时，求函数
的不动点；

（2）若对任意实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若
图象上、两点的横坐标是函数
的不动点，且、两点关于直线
对称，求
的最小值．