一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} , B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=( )

A （-，-1） B （-1，-
） C （-
,3） D (3,+)

2.已知命题
，则
是( )

A．

B．

C．

D．

3.下列函数中，与函数y=
定义域相同的函数为（ ）

A． y=
B. y=
C. y=xex D.

4.下列命题中，真命题是（ ）

A．
B．

C．
的充要条件是
D．
是
的充分条件

5.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　 　)

A．60 B．54

C．48 D．24

6. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 8

7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：

①若l⊥α，α⊥β，则l?β；②若l∥α，α∥β，则l?β；

③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.

其中说法正确的个数为(　　 )

A． 1 B． 2 C． 3 D． 0

8.下列不等式一定成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，

当-1≤x＜3时，f（x）=x. . 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（ ）

A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012

10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)

A.  B． 16π C． 9π D. 

11.函数
的图象大致为

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　)

A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9

二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)

13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．

14．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．

15．已知
是奇函数，且
，若
，则
.

16．设
是定义在上且周期为2的函数，在区间
上，

其中
．若
，

则
的值为 ．

三、解答题（共6道大题，共70分）

17．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.

(1)求M；

(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.

18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品

不喜欢甜品

合计



南方学生

60

20

80



北方学生

10

10

20



合计

70

30

100



(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：　K2＝

P(χ2≥k)

0.100

0.050

0.010



k

2.706

3.841

6.635





19．如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E - ABC的体积．

20．已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．

(1)证明：f(x)是R上的偶函数．

(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．

21．如图在四棱锥A - BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

(1)证明：AC⊥平面BCDE；

(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

22．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．

故M∩N={x|0≤x≤}

当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是

x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝

x(1－x)＝－≤.

18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

χ2＝＝≈4.762.

由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，

其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.

Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．

事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.

19. (1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝＝.

所以三棱锥E - ABC的体积

V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.

20. (1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(-x)＝e－x＋ex＝f(x)，

所以f(x)是R上的偶函数．

(2)由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．

令 t＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－＝

－对任意 t>1成立．

因为t－1＋＋1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，

当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．

因此 m ≤－

21. (1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.

(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.

作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC.

所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．

在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；

在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，

得AF＝.

在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，

得tan∠EAF＝.

所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.