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2014年重庆一中高2015级高三上期第二次月考

数 学 试 题 卷（理科）

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．已知集合
，则可以确定不同映射
的个数为( )

A. 1 B.2 C. 3 D. 4

2．已知集合
，若
，则实数a的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

3．已知
，则
是
的( )

充分不必要条件
必要不充分条件

充要条件
既不充分也不必要条件

4．函数
的部分图象如图所示，

则
（ ）

A．
B.

C.
D.

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
　　　　B.
　　　C.
　　　 D.

6．方程
有解，则
的最小值为( )

A.2 B.1 C.
D.

7．函数
,（
）的图像

关于点
对称，则
的增区间( )

A．
B．
　　　

C．
D．

8．
( )

A. 1 B.
C.
D. 2

9．已知函数
的导函数为
，且满足
，则( )

A．
B．

C．
D．

10．给定实数
，
对任意实数
均满足
，则
的零点的个数（ ）

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）

11．函数
的定义域为______________．

12．在△
中，
,则
的面积_______________．

13．已知定义在R上的函数
满足：
且
，

，则方程
在区间[
，1]上的所有实根之和为_____________．

14.如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，

AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于_____________．

15．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，

建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的

参数方程是
(t为参数)，圆C的极坐标方程是
，

则直线l被圆C截得的弦长为____________．

16．若不等式
对任意的实数
恒成立，则实数
的取值范围是_________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分13分）

已知函数f(x)＝
．

(1)求f(x)的值域和最小正周期；

(2)方程m[f(x)＋]＋2＝0在
内有解，求实数m的取值范围．

18．（本题满分13分）

已知函数f(x)＝ax2+bx－a－ab(a≠0)，当
时，f(x)>0；当
时，f(x)<0．

(1)求f(x)在
内的值域；

(2)若方程
在
有两个不等实根,求c的取值范围．

19.（本题满分13分）

如图，在多面体
中，四边形
是正方形
，
.

(1)求证：
；

(2)求二面角
的余弦值．

20.（本题满分12分）

设函数f(x)＝x3－ax，g(x)＝bx2＋2b－1.

(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；

(2)当a＝1，b＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t，t＋3]内的最小值．

21．（本题满分12分）

已知圆
经过椭圆Γ∶
的右焦点F，且F到右准线的距离为2．

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求
的最大值．

22．（本题满分12分）

设函数
.

(1)若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

(2)是否存在实数
，使得关于
的不等式
在
上恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)证明：不等式
．

2014年重庆一中高2015级月考考试（理科）答案

选择题

DAABC BDCBA

填空题

11.
12.
13．
14.  15. 2 16.

三、解答题

17解：(1)f(x)＝2sin－.

∵－1≤sin≤1.

∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π，

即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为π. ……………………………7分

(2)当x∈时，2x＋∈，

故sin∈，

此时f(x)＋＝2sin∈[，2].

由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋＝－，

即≤－≤2，

即解得－≤m≤－1.即实数m的取值范围是………13分

18.解：(1)由题意，
是方程ax2+bx－a－ab=0的两根，可得

则
在
内的值域为
………………………………………7分

(2)方程
即
在
有两个不等实根，

设
则
，解得
.…………………………………13分

19.解(1)作BC的中点E，连接

且
，
四边形
是平行四边形，

，则
//面

同理



，
面
面

面
，

面
………………………………………6分

(2)
四边形
为正方形,

,

，

由勾股定理可得：
，

，

同理可得
,以A 为原点如图建系。

则

设面
的法向量为
，则

，令
，则

设面
的法向量为
，则

则
，令
，则

所以

所以
………………………………………13分

20．解：(1)因为f(x)＝x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1，

所以f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.

因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，

所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，

即－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，

解得a＝，b＝. ………………………………………5分

(2)当a＝1，b＝0时，h(x)＝x3－x－1，b＝，

则由(2)可知，函数h(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为(－1，1)．

因为h(－2)＝－，h(1)＝－，所以h(－2)＝h(1)．

①当t＋3<1，即t<－2时，[h(x)]min＝h(t)＝t3－t－1.

②当－2≤t<1时，[h(x)]min＝h(－2)＝－.

③当t≥1时，h(x)在区间[t，t＋3]上单调递增，[h(x)]min＝h(t)＝t3－t－1.

综上可知，函数h(x)在区间[t，t＋3]上的最小值

[h(x)]min＝……………………………12分

21．解：(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，

令y＝0得F(2，0)，即c＝2，

又
得
∴椭圆Γ：＋＝1. ………………………………………4分

(2)法一：

依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝.(6分)

由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，　

∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)

＝2＝2.

设φ(k)＝，φ′(k)＝，

令φ′(k)＝>0，得－1

又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．

∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2.………………12分

22．解析：（1）由已知得：
，且函数
在
处有极值

∴
，即
∴

∴

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；

∴函数
的最大值为
………………………………………………4分

（2）由已知得：

①若
，则
时，

∴
在
上为减函数，

∴
在