2015届高三年摸底考试试卷

考试科目：理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟

命题者：谢娜娜 徐高挺　审核者：谢娜娜 徐高挺

参考公式：

锥体体积公式：
（其中S为底面面积，h为高）

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．

1．已知为虚数单位，则
的值等于

A.
B.
C.
D.

2．“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．
的值等于

A.　　 　B.
　　 　 C.
　 D.

4．已知
且
，则
的最大值等于

A． B．
C．
D．

5．等差数列
的前n项和
满足
，则其公差d等于

A．2 B．4 C．±2 D．±4

6．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

A．
B．

C．
　　　　　D．

7．已知
满足
，则
的最大值等于

A．
B．
C． D．

8．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

9．已知F1，F2分别是双曲线C：
的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则
等于

A．
B．
C．
D．

10．将
的图象绕坐标原点O逆时针旋转角
后第一次与y轴相切，则角
满足的条件是

A．esin
= cos
B．sin
= ecos
C．esin
=l D．ecos
=1

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．在
的展开式中，含
的项的系数是___．

12．已知

，则
___．（其中
）

13. 某次测量发现一组数据
具有较强的相关性，并计算得
，其中数据
因书写不清，只记得
是
任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值.）

14．已知
的三个内角
所对的边分别为
．若△
的面积
，则
的值是___．

15．定义在上的函数
，其图象是连续不断的，如果存在非零常数
（
），使得对任意的
，都有
，则称
为“倍增函数”，
为“倍增系数”，下列命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）．

①若函数
是倍增系数
的倍增函数，则
至少有1个零点；

②函数
是倍增函数，且倍增系数
；

③函数
是倍增函数，且倍增系数
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数
为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为。

（Ⅰ）求函数
的表达式。

（Ⅱ）若
，求
的值。

17．（本小题满分13分）

为适应2012年3月23日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过．已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为
；乙对其中8个测试项目完全有合格把握，而另2个测试项目却根本不会．

（Ⅰ）求甲恰有2个测试项目合格的概率；

（Ⅱ）记乙的测试项目合格数为
，求
的分布列及数学期望E
．

18．（本小题满分13分）

如图，三棱柱ADF— BCE中，所有棱长均为2，
，
，

平面ABCD⊥平面ABEF，M，N分别是AC，BF上的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ADF；

（Ⅱ）求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

19．（本小题满分13分）

如图，设椭圆
的左右焦点为
，上顶点为，点
关于
对称，且
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；（Ⅱ）已知是过
三点的圆上的点，若
的面积为
，求点到直线
距离的最大值.

20．（本小题满分14分）

已知函数

为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若是
的一个极值点，且点
，
满足条件：
.（ⅰ）求的值；（ⅱ）若点
， 判断
三点是否可以构成直角三角形？请说明理由。

21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

如图，矩形OABC和平行四边形
的部分顶点坐标为：
．

（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形
的线性变换对应的矩阵M；

（Ⅱ）矩阵
是否存在特征值？若存在，求出矩阵
的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的圆心坐标为
，半径为2. 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，

直线
的参数方程为
（为参数）

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程

（Ⅱ）设
与圆C的交点为
，
与轴的交点为，求

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

（Ⅰ）证明二维形式的柯西不等式：

（Ⅱ）若实数
满足
求
的取值范围

2015届高三年摸底考试理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

Ｃ

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ａ

Ａ

Ｃ

Ｃ

Ｃ

Ｂ



二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11.　15 12.　
　 13.　　

14.　4　 15. ①③

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16. （本小题满分13分）

解：（I）∵
为偶函数

即
恒成立
又
…………………………3分

又其图象上相邻对称轴之间的距离为π

　………………………………………………………………………6分

（II）∵原式
　………………………10分

又
　…………………………11分

即
， 故原式
　……………………………………13分

17. （本小题满分13分）

解：（I）设甲的测试项目合格数为X，则
，…………………………………………1分

甲恰有2个测试项目合格的概率
……………………………4分

（II）
的可能取值为2，3，4，
服从超几何分布，…………………………5分

………………………………………………………6分

…………………………………………………………7分

……………………………………………………………8分

的分布列为

2

3

4



P









……………………………………………………………………………10分

…………………………………………13分

18. （本小题满分13分）

解：（I）方法一：如图取AD中点G，取AF中点H，连结GH，GM，HN

则GM∥AB，且GM＝
AB，同理HN∥AB，且HN＝
AB

故GM∥HN，且GM＝HN

所以四边形GMHN是平行四边形，………………………………3分

MN∥GH，又MN平面ADF，GH平面ADF

MN∥平面ADF………………………………………………………5分

方法二：如图，取AB中点P，连结MP，NP

则NP∥AF，又NP平面ADF，AF平面ADF

NP∥平面ADF………………………2分

同理可证MP∥平面ADF，又NP
MP＝P

故平面MNP∥平面ADF…………………4分

又MN平面MNP

故MN∥平面ADF…………………………5分

（II）方法一：如（I）方法二所示，取AB中点P，则
，

又平面ABCD⊥平面ABEF，且NP平面ABEF，故NP⊥平面ABCD　………7分

从而MN在平面ABCD上的射影为MP，

故
就是直线MN与平面ABCD所成的角. 　……………………………9分

又NP=
,MP=
,从而NP=MP

故
，……………………………………………………12分

故直线MN与平面ABCD所成的角等于
………………………………13分

方法二：由（I）方法一可知，MN∥GH，又GH∥DF，故MN∥DF，

故MN与平面ABCD所成的角等于DF与平面ABCD所成的角， ………………6分

又
，且AF平面ABEF，平面ABCD⊥平面ABEF，故AF⊥平面ABCD…8分

从而DF在平面ABCD上的射影为AD，

故
就是直线DF与平面ABCD所成的角. 　……………………9分

又AF=DF＝2故
，………………………………12分

故直线MN与平面ABCD所成的角等于
……………………………………13分

方法三：依题意
，且AF平面ABEF，平面ABCD⊥平面ABEF，故AF⊥平面ABCD

从而
，又
，故分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系. ……………………………………………………7分

，同理可得
故
…………………………8分

取平面ABCD的法向量为
，………………………………………………………………9分

设直线MN与平面ABCD所成角为

则
，…………………………………………11分

又

从而直线MN与平面ABCD所成角为
………………………………………13分

19. （本小题满分13分）

（Ⅰ）
…………………………2分由
及勾股定理可知
，即
………………………4分因为
，所以
，解得
……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
是边长为的正三角形，所以
解得
……………………………………………………………8分由
可知直角三角形
的外接圆以
为圆心，半径
即点在圆
上，……………………………………………10分因为圆心
到直线
的距离为
…………………………………12分故该圆与直线
相切，所以点到直线
的最大距离为
…………………………………………13分

20. （本小题满分14分）

（Ⅰ）
，
，又
，所以曲线
在

处的切线方程为
，即
． …………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）对于
，定义域为
．

当
时，
，
，∴
；……………4分

当
时，
；

当
时，
，
，∴
………………………………………6分

所以
存在唯一的极值点，∴
，则点为
………………8分

（ⅱ）若
，则
，与条件
不符，

从而得
．同理可得
．…………………………………………9分若
，则
，与条件
不符，从而得
． 由上可得点，，两两不重合．………………10分