炎德·英才大联考文科数学(附中版)

炎德·英才大联考湖南师大附中2015届高三月考试卷(一)

数　学(文科)

命题：高三文科数学备课组

(考试范围：高考全部内容)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知a是实数，是纯虚数，则a＝(A)

A．1 B．－1

C. D．－

2．极坐标方程ρcos2θ＝4sin θ所表示的曲线是(C)

A．一条直线 B．一个圆

C．一条抛物线 D．一条双曲线

3．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是(D)

A．－1

C．x>－1 D．－1

4．如果函数f(x)＝sin(x＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T的偶函数，那么(B)

A．T＝4π，θ＝ B．T＝4，θ＝

C．T＝4，θ＝ D．T＝4π，θ＝

5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是(D)

A．若α∥b，β∥b，则α∥β B．若α∥a，α∥b，则a∥b

C．若a⊥α，b⊥β，则α∥β D．若a⊥α，a⊥β，则α∥β

6．若ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有(B)

A．f(5)

C．f(－1)

7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．由增加的长度决定

【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．

8．若<<0，则下列不等式中不正确的是(C)

A．ab

C．a2>b2 D.＋>2

9．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：(C)

a1·a2＝log23·log34＝·＝2；

a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78

＝··……·＝3；…….

若a1·a2·a3·……·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，

试确定当a1·a2·a3·……·ak＝2 014时，“企盼数”k为

A．22 014＋2 B．22 014

C．22 014－2 D．22 014－4

【解析】a1·a2·a3·……·ak＝＝2 014?lg(k＋2)＝lg 22 014?k＝22 014－2.

10．过点(－2，0)的直线l与抛物线y＝相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于(C)

A．－ B．－

C. D.

【解析】对抛物线y＝，y′＝x，l的方程是y＝k(x＋2)代入y＝得：x2－2kx－4k＝0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝且满足Δ>0.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取__12__个．

12．阅读右边的框图填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，则输出的数是__b(或0.90.3)__．

13．若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则k的值是__±__．

14．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋x2，则函数f(x)的单调递增区间为__[－1，＋∞)__．

15．当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．

则(1)S(3)＝__22__；(2)S(n)＝____.

【解析】由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(0)＝N(1)＝1.

(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]

　＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]

　＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.

(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]

＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，

∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥1)，

∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋40＋1＝.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx＋1(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求当x∈(0，]时f(x)的值域．

【解析】(1)f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋

＝sin＋.

∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝2.　(6分)

(2)由(1)得：f(x)＝sin＋.

∵0

∴－≤sin(2x＋)≤1，

∴1≤f(x)≤，

∴f(x)的值域是.　(12分)

17．(本题满分12分)

某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：

组序

分组

频数

频率



第一组

[180，210)

5

0.1



第二组

[210，240)

10

0.2



第三组

[240，270)

12

0.24



第四组

[270，300)

a

b



第五组

[300，330)

6

c



(1)求表中a、b、c的值；

(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？

(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

【解析】(1)由表知5＋10＋12＋a＋6＝50，

则a＝17，b＝＝0.34，c＝＝0.12.　(4分)

(2)因为10×＝4，所以在第二组学生中应抽取4人．　(7分)

(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P＝＝.　(12分)

18．(本题满分12分)

如图，已知三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，

PC＝BC＝4，AB＝2，E、F分别是PB、PA的中点．

(1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC；

(2)求三棱锥P－CEF的外接球的表面积．

【解析】(1)∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，

又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB?侧面PAB，

故侧面PAB⊥侧面PBC.　(6分)

(2)∵PC＝BC＝4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，

而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF.

由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，

则EF⊥侧面PBC.

故EC、EF、EP两两垂直，　(9分)

三棱锥P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC＝EP＝2，EF＝1，

其外接球的直径是＝，

故所求三棱锥P—CEF的外接球的表面积是4π＝17π.　(12分)

19．(本题满分13分)

已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a＋2)x＋b(a，b∈R)在[－1，1]上是减函数．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设

【解析】(1)由函数f(x)＝x3＋ax2－(a＋2)x＋b(a，b∈R)在[－1，1]上是减函数得：

x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax－a－2≤0恒成立．　(3分)

∴，可得a≥－.　(6分)

(2)∵

故f(x)在[a－1，a]上是减函数，　(7分)

∴fmax＝f(a－1)＝(a－1)3＋a(a－1)2－(a＋2)(a－1)＋b，

fmin＝f(a)＝a3＋a3－a(a＋2)＋b.

依条件有fmax－fmin≤，

∴fmax－fmin＝－2a2＋a＋≤，　(11分)

即8a2－10a＋3≥0，

a≥或a≤，

∵

20．(本题满分13分)

如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，定点A(c是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足2＝＋(O为原点)，且A、B、D三点共线．

(1)求双曲线的离心率；

(2)若a＝2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，

且△OMN的面积S△OMN＝2，求l的方程．

【解析】(1)∵B(0，－b)，A，易求得P.

∵2＝＋，即D为线段FP的中点，

∴D.　(3分)

又A、B、D共线．

而＝，＝，

∴·(－b)＝，得a＝2b，　(5分)

∴e＝＝＝＝.　(6分)

(2)∵a＝2，而e＝，∴b2＝1，

故双曲线的方程为－y2＝1.①　(7分)

∴B点的坐标为(0，－1)，设l的方程为y＝kx－1，②

②代入①得(1－4k2)x2＋8kx－8＝0，

由题意得：，得：k2<.　(9分)

设M、N的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则x1＋x2＝.

而S△OMN＝|OB|(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|

＝

＝＝＝2，　(11分)

整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝或k2＝(舍去)．

∴所求l的方程为y＝±x－1.　(13分)

21．(本题满分13分)

设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点)．

(1)n＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*

恒有＋＋…＋<成立．

【解析】(1)D2如图中阴影部分所示，

∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，

∴a2＝＝25.　(3分)

(另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)

(2)直线y＝nx与x＝4交于点P(4，4n)，

据题意有an＝＝10n＋5.　(6分)

(另解：an＝1＋(n＋1)＋(2n＋1)＋(3n＋1)＋(4n＋1)＝10n＋5)

(3)Sn＝5n(n＋2)．　(8分)

∵＝＝·<，

∴＋＋…＋<＋＋…＋　(11分)

＝

＝<.　(13分)