炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷（一）

数学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1、若集合M=
，N=
，P=
，则集合P的元素个数为 （ ）C

A、3 B、4 C、5 D、6

2、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）D

A、
Ｂ、

C、
D、

3、如右图所示方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则

等于（ ）D

A、
B、

C、
D、

【解析】如图，以O为坐标原点建立直角坐标系，

则

=
。

4、复数
（
，
为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B

A、第一象限 B、第二象限

C、第三象限 D、第四象限

5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n后，

输出的
，则n的值为（ ）B

A、5 　　　　 B、6　　　 　

C、7 　　　　 D、8

6、若
，
是
的一个实根，
，

，则（ 　 ）A

A、
，

B、
，

C、
，

D、
，

7、若将函数
的图象向右平移
个单位得到
的图象，若函数
为偶函数，则
的最小值为（ ）C

A、
B．
C、
D、

8、设
，p：
，q：
，则p是q的（ ）C

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

【解析】构造函数
，则
恒成立，于是
在R上单调递增；

而
，所以
。因此
。

9、当实数
满足
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）C

A、
B、
C、
D、

10、已知
，点B在曲线G：
上，若线段AB与曲线M：
的交点恰好为AB的中点，则称B为曲线G关于M的一个关联点，记曲线G关于M的关联点的个数为a，则（ ）B

A、
B、
C、
D、

【解析】方法一、依题意，可设点B的坐标为
，

则AB中点C的坐标为
，

由关联点的意义，点C在曲线M上，即
，

亦即
。

设
，则
；

令
，解得
；令
，解得
；

于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

又当
时，

，所以
有唯一解。

故
有唯一解。从而曲线G关于M的关联点有且只有1个。

方法二、同法一，得
，即
。

构造函数
，则
在
上单调递增，且
，
，

于是由
及单调性可知
有唯一零点。

从而方程
有唯一解，故曲线G关于M的关联点有且只有1个。

请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置：

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答 案

























二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。）

11、已知角
的终边经过点
，则
= ；

12、已知
，
，则
；

13、若
=
，则满足
的
取值范围为 ；

14、已知
均为单位向量，且满足
，则
的最大值是 ；

15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，……其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性。比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越接近黄金分割比0.6180339887…，人们称该数列
为“斐波那契数列”。

若把该数列
每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列
，则：

（1）在数列
中，第2014项的值是 ；3

（2）数列
中，第2014个值为1的项的序号是 。4027

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分12分）已知函数
，
。

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）若函数
有零点，求实数a的取值范围。

【解析】（Ⅰ）

。 …………………4分

所以函数
的最小正周期为
； …………………5分

又由
（
）解得
（
），

所以函数
的单调递增区间为
（
）。 …………………7分

（Ⅱ）令
得
，即
，

因为
，所以
，从而

。

由于函数
有零点，故实数a的取值范围为
。 …………………12分

17、（本小题满分12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2。

（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径。

【解析】（Ⅰ）连结BD，由题设及余弦定理得

，…………①

，……………②

由①②得
，故
，相应的
。…………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积

。 …………………10分

由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径
。 …………………12分

18、（本小题满分12分）某工厂的统计资料显示，产品次品率p与日产量n（千件）（
，且
）的关系表如下：

n

1

2

3

4

…

98



p









…

1



又知每生产1千件正品盈利
千元，每生产1千件次品损失
千元。

（Ⅰ）将该厂日盈利额T（千元）表示为日产量n（千件）的函数关系式；

（Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少千件？

【解析】（Ⅰ）由题意得
（
，且
），

所以，在日产量n千件中，次品有
千件，正品有（
）千件，

于是日盈利额
（
，
）（千元）。 …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），
，

注意到
，

所以
，即
。

（其中等号当且仅当
，即
时成立。）

故当
，即该厂的日产量定为80千件时，获得的盈利最大。 ……………………12分

19、（本小题满分13分）数列
满足：
，
，
，
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
，证明：
（
）。

【解析】（Ⅰ）∵
，
，∴由题设递推关系式，有
，

。

一般地，当
（
）时，
，

即
。所以数列
是首项为1公差为1的等差数列，因此
。 ……………3分

当
（
）时，
，

所以数列
是首项为2公比为2的等比数列，因此
。 ………………5分

故数列
的通项公式为
。 ………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

于是
， ……………………①

从而
， ……………………②

①―②得

。

所以
。故有
。 ……………………13分

20、（本小题满分13分）如图，椭圆
（
）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点
，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，△
的周长为
。设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
的斜率分别为
，且直线
和
与椭圆的交点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：
；

（ⅱ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（Ⅰ）由题意知，双曲线的离心率为
，

椭圆离心率为
，即
。

又
，所以可得
，
。

所以
，于是椭圆方程为
；

所以椭圆焦点坐标为
，因为双曲线为等轴双曲线，

且顶点是该椭圆的焦点，故所求双曲线的标准方程为
。 ……………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）设点
，则
，
，则
；

而由点P在双曲线上，可知
，即有
；

从而
，故
。 ……………………8分

（ⅱ）假设存在常数
，使得
恒成立。

则由（ⅰ）知
，所以可设直线AB的方程为
，直线CD的方程为
；

把直线AB的方程为
代入椭圆方程，整理得
；

若设
，
，则有
，
；

因此
=
；

同理可得
；

因此由
知

。

所以存在常数
，使得
恒成立。 ……………13分

21、（本小题满分13分）已知
、
是函数
（
）的两个极值点，若
。

（Ⅰ）求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求
的最大值；

【解析】（Ⅰ）函数
的定义域为
，
。

由题意得：
、
是方程
的两个不等正根，且
，

∴

且
，
。 ……………………3分

设
，则
，
，

易知函数
在
上单调递增，所以
，所以
。

故实数m的取值范围是
。 ………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，

所以
=
。

构造函数
（其中
），则
，

所以函数
在
上单调递减，于是有
。

故
的最大值为
。 ………………………………………13分