衡阳市八中2015届高三第二次月考试题

数 学 （理）

命题：彭学军 曾小权 审题：周德平

注意事项：请本卷共21道小题，满分150分，时间120分钟。

选择题（每小题5分，共10小题，满分50分）

1．设集合
，
, 则（ D ）

A.
B.
C.
D.

2.“
”是“
”的（ B ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 已知
, 则
( B )

A．
B．
C．
D．

4. 已知函数
, 则下列结论正确的是 (　C )

A．
是偶函数 B.
是增函数

C．
的值域为[－1，＋∞) D.
是周期函数

5. 已知命题
，命题:
.下面结论正确的是（ D ）

A．命题“
”是真命题 B. 命题“
”是假命题

C．命题 “
”是真命题 D．命题“
”是假命题

6.曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为（ D )

A．
B.
C．
D．

7.已知函数
的定义域为
,值域为
，则
的值不可能是( A )

A.
B.
C.
D.

8.若函数
的图象

如图所示，则
等于（ B ）

A．

B.

C．

D．

9．已知定义在R上的奇函数
和偶函数
满足

，若
，则
（ B ）

A． B.
C．
D．

10. 已知方程
有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　B　)

A.
B.
C.
D.

二、选择题（每小题5分，共7小题，满分35分）

11.
. [答案]

12. 已知幂函数
在
处有定义，则实数
.

答案：2

13．曲线
在点
处的切线的斜率为 .

答案：

14．若函数
在
内有极小值，则实数
的取值范围是 .答案：

15. 已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
给出以下命题：

①当
时，
；

②函数
有五个零点；

③若关于的方程
有解，则实数的取值范围是
；

④
恒成立.

其中，正确命题的序号是 .

【答案】①④.　

由图可知，若关于的方程
有解，则
，且对

恒成立.

三、解答题（本大题共6小题, 满分75分）

16、(本题满分12分)

设是单位圆和轴正半轴的交点，，
是单位圆上两点，
是坐标原点，且
，

,
.

（1）若点
的坐标是
其中
，求
的值.

（2）设
, 函数
，求
的值域．

解：（1）由
，

. …..3分

所以
=
. …..6分

（2）由已知有
, …..8分

因为
，则
，所以
.

故
的值域是
. …..12分

17、(本题满分12分)

已知函数
满足
，对任意
都有
，且
．

（1）求函数
的解析式.

（2）是否存在实数，使函数
在
上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

∴
图像的对称轴为直线
，则
，∴
……………2分

18、(本题满分12分)

如图，已知在直四棱柱
（侧棱垂直底面的棱柱）中，
，
，

．

（1）求证：
平面
.

（2）求
与平面
所成的角的的正弦值．

解法一：

（1）设是
的中点，连结
，则四边形

为正方形，

．故
，
，
，

，即
．……….. 2分

又
，
……..3分

平面
， …….5分

（2）由（1）知
平面
，

又
平面
，
，

取
的中点, 连结
，又
，

则
．

取
的中点
，连结
，则
,

.
平面
，

则过
向平面
引垂线,垂足必落在
上

为直线
与平面
所成的角……8分

连结
，在
中，
，
，

取
的中点
，连结
，
，

在
中，
，
，
． ………..10分

．

与平面
所成的角的的正弦值为
． ………..12分

解法二：

（1）以为原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，

,
. ….. 2分

,
…..3分

又因为

所以，
平面
. ………..5分

（2）设
为平面
的一个法向量．

由
，
，

得
取
，则
． ……….8分

又
…….9分

设
与平面
所成的角为
，则
,

即
与平面
所成的角的的正弦值
． ………..12分

19、(本题满分13分)

如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是
，从点沿海岸正东
处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为
，步行的速度是
，用（单位：
）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：
）表示此人将船停在海岸处距点的距离。

（1）请将表示为的函数
.

（2）将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少?

解：

（1）

………5分

（2）
………7分

,

令
得
. ………9分

当
时,
,
单调递减; 当
时,
,
单调递增. ……11分

故当
时,
最小,且最短时间为
. ………13分

20、(本题满分13分)

（1）用导数证明: 若
,则
.

（2）若
对
恒成立，求的最大值与
的最小值．

解：（1）设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx > 0 g'(x) = (1/cos2x) - 1 > 0 由

于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 ==> x - sinx

> 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x ∴sinx < x < tanx，x∈(0，π/2) ………6分

（2）当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”，“

令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.

讨论：

当c≤0时，g(x)>0对任意x∈恒成立．

当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间上单

调递减，从而g(x)

当0

g(x)与g′(x)在区间上的情况如下：

x

(0，x0)

x0





g′(x)

＋

0

－



g(x)

递增



递减



因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0. 于是“g(x)>0对任意x∈恒

成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0

综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0

对任意x∈恒成立．

所以，若
对任意
恒成立，则的最大值为
，
的最小值为1.

………13分

21. （本小题满分13分)

已知函