安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学理试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，时间120分钟．

2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，集合
，则
=（ ）

A.（1，2） B.[1，2] C.[ 1，2） D.（1，2 ]

2. 已知
是虚数单位，
，则“
”是“
”的（ ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知双曲线
的离心率为2，则实数
（ ）

A. 2 B.
C.
D. 1

4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

5. 已知直线
，若
,则a的值为

A．
B．
C．
或
D．
或

6. 设对任意实数
，不等式
总成立．则实数
的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

7. 设
，则 （　　）

A．
B．
C．
D．

8. 已知直线
（
不全为
），两点
，
，若
，且
，则直线
( )

A．与直线
不相交 B．与线段
的延长线相交

C．与线段
的延长线相交 D．与线段
相交

9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）

A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm D．84cm3

10. 在面积为6的Rt△ABC中，
,
在
上的投影为3，

P为线段AB上的动点，且满足
则
的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11. 若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原点对称，则
的最小正值是

12.定义在R上的奇函数
满足
，且在
上的解析式为
，则

13.已知数列
是公差不为0的等差数列，若
三项成等比数列，则此等比数列的公

比为 .

14. 已知变量x，y满足约束条件
，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)

处取得最大值，则a的取值范围为_____．

15. 如图，正方体
的棱长为
，
分别为棱
，
上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号）

①
平面
；

②在平面
内总存在与平面
平行的直线；

③
在侧面
上的正投影是面积为定值的三角形；

④当
为中点时，平面
截该正方体所得的截面图形是五边形；

⑤当
为中点时，平面
与棱
交于点
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.

16. 如图，点A,B是单位圆
上的两点，点C是圆
与
轴的正半轴的交点，将锐角
的终边
按逆时针方向旋转
到
.

（Ⅰ）若点A的坐标为
，求点B的横坐标；

（Ⅱ）求
的取值范围.

17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.

（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；

（Ⅱ）若
大学决定在成绩高的第
，
组中用

分层抽样的方法抽取
名学生，并且分成
组，每组
人

进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.

18.（本小题12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF=1，

求三棱锥E-ADF的体积.

19.（本小题12分）已知数列
满足：
，
，
，

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；　

（Ⅱ）求使不等式
成立的所有正整数
的值．

20. （本小题13分）如图，已知圆
与x轴交于A、B两点、与y轴交于点C，M是圆O上任意一点（除去圆O与坐标轴的交点）.直线AM与BC交于点P，CM交x轴于点N，设直线PM、PN的斜率分别为m、n，

（Ⅰ）试求点M、N坐标（可用m、n表示）

（Ⅱ）求证：
为定值.

21. （本小题14分）设关于
的方程
有两个实根
，函数
.

（Ⅰ）求证：不论m取何值，总有
；

（Ⅱ）判断
在区间
的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）若
均为正实数，证明：
.

安徽省江淮十校教育研究会2014年高二联考

数学（理科）答案

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1. D 2.A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. C.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.
12.
13. 2 14.
15. ②③④⑤

三、解答题:本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

16. （I）由三角函数定义知，
………………………（2分）

………（5分）

所以点B的横坐标
. ………………………（6分）

（II）
， ………………………（9分)

，
，
，
，

. …………………（12分）

17.（本小题12分）

（Ⅰ）由图象可知第五组为:
人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人.

则绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6分

（Ⅱ）第四组中抽取人数：
人，第五组中抽取人数：
人，所以两组共6人.设第四组抽取的四人为
，第五组抽取的2人为
，这六人分成两组有两种情况，情况一：
在同一小组：
；
；
；
，共有4种可能结果，情况二：
不在同一小组：
；
；
；
；
；
，共有6种可能结果，两种情况总共10种可能结果，所以两人被分在一组的概率为
. ….12分

另解：两人被分在一组的概率为
.（此法亦可相应给分）

18.（本小题12分）

(Ⅰ)证明：
矩形ABCD
面ABE， CB
面ABCD

且CB
AB

CB
面ABE，从而AE
BC ①………3.分

又
在半圆ABE中，AB为直径，

即AE
BE ②

由①②知：AE
面BCE，故有：
， ……………………….…6分

(Ⅱ)
AB//CD,
AB//面DCE.

又
面DCE
面ABE=EF,
AB//EF

在等腰梯形ABEF中，EF=1，AF=1，
，………………….…9分

，

. …………………12分

19.（本小题12分）

解：（Ⅰ）由
得
，

则
是以
为首项，以
为公比的等比数列 .... ……… .........4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，累加可得
.........................8分

则
即为：
，

显然
时无解，则易求得
..................................................12分

注：若由
得到
即
亦即
，从而得出结果
可酌情给分.

20. （本小题13分）

解：（I） 直线AM的方程为：
与

联立得
………………………………………………………………….3分

由
三点共线，得出
……………......…6分

（Ⅱ）.将直线BC的直线方程
与

联立得
…………………………………………………………………...8分

故有
………………………….11分

即：
………………………………………………………………………….13分

21. （本小题14分）

解: (Ⅰ)∵
是方程
的两个根， ∴
，

∴
，

∴
……………………………………………………… （4分）

（Ⅱ）∵
，

当
时，
，∴
在
上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）

（Ⅲ）∵
，同理可证：

∴由（Ⅱ）可知：
，
，

∴
， ……………………………（12分）

由（Ⅰ）可知，
，
，
，

∴
，

∴
．……………………………………（14分）