大庆实验中学2014-2015学年度高三暑期期初考试数学试题（理科）

选择题（每题5分共60分）

1．已知
，
，则
的元素个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若i是虚数单位，则复数
的实部与虚部之积为（　　）

A．



B．



C．



D．





3．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体

中，正方体的体积最大”是（ ）

A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D以上都不是

x

1





f(x)

1













4．已知幂函数
的部分对应值如下表：

则不等式
的解集是(　　)．

A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}

C．{x|－
≤x≤
} D.{x|0

5．已知函数
，若
则
（ ）

A、 B、
C、
D、

6．由
个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

7．高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．某班有60名学生，一次考试后数学成绩
,若
，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

9．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)

A．－180 B．180 C．45 D．－45

10．已知函数f（x）=
，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（ ）

A．（
） B．（
） C．（
，12） D．（6，l2）

11．设函数
）是定义在（一，0）上的可导函数，其导函数为
,且有
,则不等式
的解集为( )

A,
B.
C.
D.

12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为
(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如
=
+
,
=
+
,
=
+
,则第10行第4个数(从左往右数)为(　　)



A.
B.

C.
D.



二、填空题（每题5分共20分）

理科

文科

合计



男

13

10

23



女

7

20

27



合计

20

30

50



13.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2＝
≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为______．

14．已知0＜θ＜
，由不等式tanθ+
≥2，tanθ+
=
+
+
≥3，tanθ+
=
+
+
+
≥4，…，启发我们得到推广结论：tanθ+
≥n+1，则a=　_________　．

15.若不等式
对任意的
，
恒成立，则实数的取值范围是 ．

16．已知函数f(x)＝
， (a是常数且a＞0)．对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；

②函数f (x)在R上是单调函数；

③若f(x)＞0在
上恒成立，则a的取值范围是a＞1；

④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．

三、解答题（共70分）

17．（12分）已知函数f(x)＝
，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

18．（12分）已知
的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992,求(2x－
)2n的展开式中:

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项．

19. （12分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望
及方差
.

20. （12分）已知函数
.

（1）若
在
处取得极值，求
的单调递增区间；

（2）若
在区间
内有极大值和极小值，求实数的取值范围.

21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（t为参数，
）

（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（2）若直线
经过点
，求直线
被曲线C截得的线段AB的长

22．（12分）已知关于x的函数

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
没有零点，求实数a取值范围.

大庆实验中学2014-2015学年度高三暑期期初考试数学试题（理科）答案

选择题（每题5分共60分）CBBAD,CBBBB,CC

二、填空题（每题5分共20分）13. 5% 14. nn 15.
16. ①③④

三、解答题：（共70分）

17、（12分）解：(1)由a＝4，则f(x)＝
＝x＋
＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6.(2)x∈[1，＋∞)，
>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，从而 a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3. 所以a的取值范围是
.

18、（12分）解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5．

(1)由二项式系数的性质知，
的展开式中第6项的二项式系数最大

即
．∴
．

(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，

∴
．∴

得
，即
， 解得
∵r∈Z，∴r＝3．

故系数的绝对值最大的是第4项，

19、（12分）解：

（1）设

里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个}.因

X可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为

分布列为:

X

0

1

2

3



P

0.064

0.288

0.432

0.216





20、（12分）解：（1）∵
，∴
，

∵
在
处取得极值，∴
，即
，

∴
，

令
，则
，∴
或
，

∴函数
的单调递增区间为
，
；

（2） ∵
在
内有极大值和极小值 ∴
在
内有两不等零点，而二次函数
，其对称轴
，

可结合题意画出
的大致示意图：

∴
，解得
，

∴实数的取值范围是
.

21、（10分）解：（1）曲线C的直角坐标方程为
，

故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；

（2）直线
的参数方程为
( t为参数，0≤＜)

故l经过点（0，1）；若直线
经过点(1,0)，则

直线
的参数方程为
（t为参数）

代入
，得
设A、B对应的参数分别为
，

则

=8

22．（12分）解：（1）
，
.

当
时，
,
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗



所以，当
时，函数
的极小值为
.

（2）
. 当
时，
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗



因为F(1)=1＞0, 若使函数F(x)没有零点，需且仅需
，

解得
, 所以此时
；

当
时，
的情况如下表：



2









0







↗

极大值

↘



因为
,且
，

所以此时函数
总存在零点.

（或：当
时，

当
时，令

即

由于
令

得
，即
时
，即
时
存在零点.）

综上所述，所求实数a的取值范围是
.