２０１５届井冈山中学高三第一次月考理科数学卷

一．选择题

1. i是虚数单位，复数
的虚部是

A．- 2i B．i C．1 D．-2

2. 已知集合
，则满足A∩B=B的集合B可以是

A.
B.
　C.
D. {x|x >0|

3. 统计甲、乙两名篮球运动员9场比赛得分情况得到茎叶图如图所 示，设甲、乙得分平均数分别为
中位数分别为m甲，m乙，则 下列判断正确的是

A.
B.

C.
D.

4.5个不同的小球放入４个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个小球，若甲球必须放入第一个盒子，则不同的放法种数是

Ａ．１２０种　　Ｂ．７２种　　Ｃ．６０种　　　Ｄ．３６种

5下列四个命题中，

①
；②设回归直线方程为
当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位；

③已知
服从正态分布N（0，
），且
，则：

④对于命题
错误的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．在
，这三个函数中，当
时，

使
恒成立的函数的个数是（　　）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

7．若方程
与
的四个根适当排列后，恰好组成一个首项1的等比数列，则
值为（ ）

A.
B.
C.2 D.4

8．定义在
上的偶函数
满足
，且在
上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角， 则
与
的大小关系是

A．
B．

C．
D．

9．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为 ( )

A.1-
B.
C.
D.

10．如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已

知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落

时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）

二．选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分）

11．(1) (坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C1的参数方程为
(
为参数)，圆C2的极坐标方程为
，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则
＝________.

(2) 不等式选讲选做题)若关于
的不等式
|的解集为
，则实数
的取值范围是________．

三．填空题

１２．函数f(x)＝的定义域为―――――――

13.在二项式
的展开式中，含
的项的系数是

14．已知
，且
，则实数
等于______________．

15．若函数y = f (x)，x∈D同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设
(a>0且a≠1) ,则当f (x)为可等射函数时，a的取值范围是 ---------- ．

四．解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2sin A，＋＋＝0.

(1)求c的值；

(2)求△ABC面积的最大值．

17． 已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

1８．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.

(1)求证：BF∥平面ACGD；

(2)求二面角D-CG-F的余弦值．

20．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

21．设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

月考理科数学参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

C

C

C

A

B

A

B



二．三选做题和填空题

11．（1）-
（2）

12．
13. 10

14．
15.（0，1）
（1，2）

16.解：(1)∵＋＋＝0，

∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，

∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，

∴sin A＋2sin Acos C＝0.∵sin A≠0，

∴cos C＝－，∴C＝，∴c＝·sin C＝.

(2)∵cos C＝－＝，∴a2＋b2＋ab＝3，

∴3ab≤3，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时，取等号，

∴S△ABC＝absin C≤，∴△ABC面积的最大值为.

17.解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.

从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，

所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，

故所以

18.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则

P(A)＝＝，

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.

(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.

P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3



P













随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

19.解　方法一　(1)设DG的中点为M，连接AM，FM.

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．

∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，

∴AB∥DE.∵AB＝DE，

∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形．

∴BF∥AM.

又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，

故BF∥平面ACGD.

(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，

∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF为所求二面角的平面角．

连接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四边形ACMD为平行四边形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.

∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.

在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，

∴MN＝＝＝.

在Rt△FMN中，

∵MF＝2，MN＝，

∴FN＝＝.

∴cos∠MNF＝＝＝.

∴二面角D-CG-F的余弦值为.

方法二　由题意可得，AD，DE，DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)．

(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，

＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴＝，∴BF∥CG.

又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．

设平面BCGF的法向量为n1＝(x，y，z)，

则

令y＝2，则n1＝(1,2,1)．

则平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝

＝＝.

由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D-CG-F的余弦值为.

20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，

x1，2＝，

从而|PQ|＝|x1－x2|

＝.

又点O到直线l的距离d＝.

所以△OPQ的面积

S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.

(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.

设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，

所以当x∈时，g′(x)<0； 当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上

的最小值为g＝－.

设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)

上的最大值为h(1)＝－.

因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.