将军中学2014届高三上学期第二次大考数学（理）试题

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集
,集合
,
,则集合
（　）

A．
B．
C．
D．
。

2. 如果复数
为纯虚数,则实数的值为 ( )

A. 1 B.2 C. 1或2 D. 不存在

3．p：|x|＞2是q：x＜﹣2的（　　）

A.充分必要条件 B.充分不必要条件

　 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为
，则m的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

5．函数
的图象如图所示，则y的表达式为（　　）

A．
B．

C．
D．

6．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，

则输出的S的值是（　 　）

A．39

B．21

C．81

D．102

7．已知实数x，y满足
，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则
的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

8．若数列
满足
，则该数列的前2014项的乘积
（　 　）

A．3 B．﹣6 C．2 D．1

9．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点的连线交
于第一象限的点
若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB＝6，AD＝4
，将矩形纸片的右下角折起，使角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，记
,线段MN的长度为
,则函数
的图象大致为（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．

11．函数
的单调递减区间是

12.已知
与
的夹角为120°，且
，
，若
且
，则实数
的值为

13．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 ．

14．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？ ．（用数字作答）．

（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做第一题计分。）

15. （坐标系与参数方程选做题）（1）已知曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
（
，曲线
、曲线
的交点为
，则弦
长为 .

（2）（Ⅱ）（不等式选讲选做题）设函数

＞1），且
的最小值为
，若
，则的取值范围

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）已知函数
。

（1）求函数
在区间
上的零点；

（2）设
，求函数
的图像的对称轴方程。

17. （本题满分12分） 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
.

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;

(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

18．（本题满分12分）已知直角梯形
，是
边上的中点（如图甲），
，
，
，将△
沿
折到△
的位置，使
，点在
上，且
，（如图乙）

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值。

19．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=
，an+1=Sn+
（n∈N*，t为常数）．

（1）若数列{an}为等比数列，求t的值；

（2）若t＞﹣4，bn=lgan+1，数列{bn}前n项和为Tn，当且仅当n=6时Tn取最小值，求实数t的取值范围．

20．（本题满分13分）已知定点
，
是圆
（C为圆心）上的动点，
的垂直平分线与
交于点.设点的轨迹为M.

(1)求M的方程；

(2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数
。

（1）若函数在区间
（其中
）上存在极值，求实数的取值范围；

（2）如果当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围。

（3）证明：
＞
。

将军中学2013～2014学年度第一学期高三

第二次大考数学（理）参考答案

1—5 CBCCD 6—10 DABDA

11.（1，3） 12.
13.
14. 346

15.(1)
(2)

16．（本小题满分12分）

解：（1）令
，得
， …………………………（2分）

所以

. …………………………………………………（4分）

由
，得
， ……………………………………………（5分）

由
，
，

得
， ……………………………………………………………………（6分）

综上，
的零点为
或
. ………………………………………（7分）

（2）
， …………………………………………（9分）

由
得
， …………………………………（11分）

即函数
的图象的对称轴方程为：
. …………………（12分）

17、解：（1）
的所有可能取值为

依条件可知

……………………3分

的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6





















 ……………………6分

或因为
所以
即X的数学期望为4……………………7分

（2）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

则
……………………11分

答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
…………………………12分

18．（本小题满分12分）

（1）证明：在题图中，由题意可知，

，ABCD为正方形，所以在图乙中，
，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为
，且
，

所以
平面SAB， …………………………………（3分）

又
平面SAB，所以
，且
，

所以
平面ABCD. ………………………………（6分）

（2）解：以A为原点建立空间直角坐标系，如图乙，

， …………………………（7分）

易知平面ACD的法向量为

，

设平面EAC的法向量为
，

，………………（9分）

由
所以
可取

所以
， ……………………………………………………（11分）

所以
，

所以二面角E?AC?D的余弦值为
． ………………………………………（12分）

∵数列{bn}前n项和为Tn，当且仅当n=6时，Tn取最小值，∴b6＜0且b7＞0…（10分）

可得0＜a7＜1且a8＞1，…

∴0＜8+2t＜1且16+2t＞1，

…………12分

20.解：（1）由题知
，所以
.

又因为
，所以点的轨迹是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，

动点的轨迹方程为
.…………4分

(2)假设存在符合题意的直线
与椭圆C相交于
，
两点，其方程为
，

由
消去，化简得
．

因为直线
与椭圆C相交于A，B两点， 所以
，

化简得
，解得
．…………6分

所以
，
．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

所以
，所以
．…………8分

又
，

，

解得
． …………11分

由于
，

所以符合题意的直线
存在，所求的直线
的方程为
或
．……13分

21．（本小题满分12分）

解：（1）因为
，
，则
， ……………………（1分）

当
时，
；当
时，
.

所以
在
上单调递增；在
上单调递减，

所以函数
在
处取得极大值. …………………………………………（2分）

因为函数
在区间
上存在极值，

所以
解得
………………………………………………（4分）

（2）不等式
即为
记
，

所以
. ……………………（5分）

令
，则
，
，
，
在
上单调递增，

，从而
，

故
在
上也单调递增，所以

所以
. ………………………………………………………………（9分）

（3）由上述知
恒成立，即
，

令
，则
，

∴
，
，
，…，

， ………………………………………………………（11分）

叠加得

则
，

所以
． ………………………………………（14分）