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揭阳一中2011—2012学年度高三第一次段考 理科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。 1.定义集合运算：，且，，则集合中的元素个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．9 2、化简(a, b为正数)的结果是（ ） A． B．ab C． D．a2b 3.下列命题中的真命题是 ( ) A．,使得 B. C． D． 4、如果函数的图象关于点（1，2）对称，那么（ ） （A）－2，4 （B）2，－4 （C）－2，－4 （D）2，4 5、某种商品的零售价2007年比2005年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使2009年的物价仅比2005年上涨10％，那么2009年比2007年的物价下降（ ） A. 15％ B. 12％ C. 10％ D. 5％ 6．给出幂函数①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=．其中满足条件f > (x1＞x2＞0)的函数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7、已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）A. B. C. D. 8、若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( ) A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置。 9、记函数的反函数为,若且，则的值是 10．设函数，则=__________. 11、如图，直线是曲线在处的切线， 则= . 12、已知函数的最大值为， 最小值为，则______。 13、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 14、下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则； ②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④ 设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称；⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1。其中正确的有___________________。 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。 15、（本小题满分12分）已知p：∣1－2x∣≤ 5，q：x2－4x+4－9m2 ≤ 0 (m＞0)，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 16、（本小题满分12分）已知函数f(x)= (a>0且a≠1)， (1)求f(x)的定义域； (2)当a>1时，求证f(x)在［a,+∞)上是增函数. 17、（本题满分14分）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；（2）按总价的92%付款. 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），若以购买茶杯数为x个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱. 18、（本题满分14分）已知为实数， （1）求导数; （2）若，求在上的最大值和最小值; （3）若在和上都是递增的，求的取值范围. 19、（本题满分14分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=－f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; (3)在(2)的条件下.求使f(x)=－在［0，2 011］上的所有x的个数. 20、（本题满分14分）定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在x=1处取极值。 （I）求的值及h(x)的单调区间； （II）求证：当1 （III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理. 理科数学答案 一、选择题答案表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A B A D C 二、填空题： 9、 10、 3x－1 11、 12、 2 13、 14、 ①、⑤ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。 15、解：解不等式可求得：p：－2≤x≤3，…………………2分 q：2－3m≤x≤2+3m (m＞0)．…………………4分 则 p：A={x∣x＜－2或x＞3}， q：B={x∣x＜2－3m或x＞2+3m，m＞0．……6分 由已知 p q，得AB. …………………8分 从而 ．…………………11分 (上述不等式组中等号不能同时取)．经验证为所求实数m的取值范围．………12分 16.(1)解：要使函数f(x)= 有意义，必须且只须………3分 若a>1，则函数的定义域为［a,+∞)；若0 (2)证明：设a≤x1＜x2则由a>1知1≤logax1 ∵ f(x1)－f(x2)== ……………10分 ∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1) 17、解：由优惠办法（1）可得函数关系式为：y1=20×4+5(x－4)=5x+60(x≥4); …………3分 由优惠办法（2）得：y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4), …………………6分 对以上两种优惠办法比较得：y1－y2=0.4x－13.6(x≥4),令y1－y2=0,得x=34.…………………9分 可知当购买34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分 当4≤x<34时，y1 当x>34时，y1>y2,优惠办法（2）省钱. …………………14分 18、解：（1）由原式得 ∴……………3分 （2）由 得,………4分,此时有. 由得或x=-1 , ……6分 又…………………8分 所以f(x)在上的最大值为最小值为…………………9分 （3）的图象为开口向上且过点的抛物线, …………………10分 由条件得 …………………12分 即 ∴ , 所以a的取值范围为…………………14分 19、解（1）证明:∵f（x+2）=－f（x），∴f（x+4）=－f（x+2）=－［－f（x）］=f（x），…… 2分 ∴f（x）是周期函数，且4为一个周期. …………… 4分 （2）解 当0≤x≤1时，f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x. ∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=-x，即f(x)=x. ……………6分 故f(x)= x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)= (x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），∴-f（x）=（x-2）， ∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.∴f（x）= …………… 10分 由f(x)=- ,解得x=-1.∵f（x）是以4为周期的周期函数. ∴f(x)=- 的所有解为x=4n-1 (n∈Z). ……………12分 令0≤4n-1≤2 011,则≤n≤503,又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z）, ∴在［0，2 011］上共有503个x使f(x)=- . ……………14分 20.解（I）由题意：∴a=2……… 2分 而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为减函数。………… 4分 （II）欲证：只需证：，即证：，记∴ ∴当x>1时，为增函数， 即∴结论成立 ………9分 （III）由 （1）知：∴对应表达式为 ∴问题转化成求函数 即求方程：即：………11分 设 ∴当时，为减函数.当时，为增函数. 而的图象开口向下的抛物线，∴与的大致图象如图：∴与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个. ……………………14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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