2014海南省高考预测金卷

理 科 数 学

一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1设全集
，且
，则满足条件的集合
的个数是（ ）

A．3 B．4 C．7 D．8

2已知i是虚数单位，
R，且
是纯虚数，则
等于( )

A．1 B．-1 C．i D．-i

3已知函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

4如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是 ( )

A．2500,2500 B．2550,2550 C．2500,2550 D．2550,2500

6若数列
满足
，则称数列
为调和数列。已知数列
为调和数列，且
，则
（ ）

A10 B20 C30 D40

7设二元一次不等式组
所表示的平面区域为
，使函数
的图象过区域
的
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.

9
的外接圆的圆心为
，半径为
，
且
，则向量
在
方向上的投影为 （ ）

A
B
C
D）

10已知曲线
与函数
及函数
的图像分别交于
，则
的值为

A．16 B．8 C．4 D．2

11．数列
满足
，
，记数列
前n项的和为Sn，若
对任意的
恒成立，则正整数
的最小值为 （ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

12设函数
,若
,则点
所形成的区域的面积为 ( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13 、已知集
,

,则集合
所表示图形的面积是

“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．

15.过抛物线
的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点C

若
，则直线AB的斜率为________________

16设
，若仅有一个常数c使得对于任意的
，都有
满足方程
，这时，
的取值的集合为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（Ⅰ）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（Ⅱ）若
，
，试用
表示
的周长，

并求周长的最大值．

18．（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30，35）岁的人数；

分组（单位：岁）

频数

频率



[20，25]

5

0.05



[25，30]

①

0.20



[30，35]

35

②



[35，40]

30

0.30



[40，45]

10

0.10



合计

100

1.00



（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学 期望

19已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
∥
，
，
是
的中点.沿
将梯形
翻折，使平面
⊥平面
(如图) . (Ⅰ) 当
时，求证：
⊥
；

(Ⅱ) 若以
、
、
、
为顶点的三棱锥的体积记为
，求
的最大值；

(Ⅲ)当
取得最大值时，求二面角
的余弦值.

20已知直线
相交于A、B两点.

若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段AB的长；

（2）若向量
互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆的长轴长的最大值.

21已知
.

（1）若
，函数
在其定义域内是增函数，求
的取值范围；

（2）当
，
时，证明函数
只有一个零点；

（3）
的图象与
轴交于
,
(
)两点，
中点为
，

求证：
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22 如图，已知
是⊙O的切线，
为切点，
是⊙O的割线，与⊙O交于
两点，圆心
在
的内部，点
是
的中点．

（Ⅰ）证明
四点共圆；

（Ⅱ）求
的大小．

23在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线
相交于点M，在OM上取一点P，使
．

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为
上任意一点，试求RP的最小值．

24 已知|x-4|+|3-x|

（1）若不等式的解集为空集，求a的范围

（2）若不等式有解，求a的范围

数学试题（理科）参考答案

1---6 DAACDB 7---12 CBACAD

13
14.
15
16

17． 解（Ⅰ）

、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又

，
，

，

，

恒等变形得
，解得
或
.又

，

.

（Ⅱ）在
中，
，

，
，
.

的周长

，又

，

,
当
即
时，
取得最大值
．

：18

解：（I）0.2×100=20，
，

∴①处是20，②处是0.35，

∵由频率分步直方图中，[30，35）的人数是0.35×500=175

在频率分步直方图知，在[25，30）这段数据上对应的频率是0.2，

∵组距是5，

∴小正方形的高是
，

在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形．

（II）用分层抽样方法抽20人，

则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，

故X的可能取值是0，1，2，

P（X=0）=
，P（X=1）=
，P（X=2）=

∴X的分布列是

∴X的期望值是EX=



19解:（Ⅰ）作
于
，连
，
　　

由平面
平面
知
平面

而
平面
，故
又四边形

为正方形 ∴　

又
，故
平面
　　

而
平面
∴　
.

（Ⅱ） ∵　
，面
面
∴
面

又由（Ⅰ）
平面
∴

所以

＝

即
时
有最大值为
．

（Ⅲ）设平面
的法向量为

∵
,
，
，
∴

则
即
取
则
∴
面
的一个法向量为
则
<
>

由于所求二面角
的平面角为钝角

所以，此二面角的余弦值为－
.

20（1）
，

，

联立

则

，

（2）设
，

由
，

，

，

由此得
故长轴长的最大值为

21. 解：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

∴
对x∈(0，＋∞)恒成立，……1分

即
对x∈(0，＋∞)恒成立，只需
． …………2分

∵x＞0，∴
，当且仅当
时取“＝”，

∴
，∴b的取值范围为
． ………………4分

（2）当a＝-1，b＝－1时，f(x)＝lnx+x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

．

∴函数f(x)只有一个零点．……7分

（3）由已知得
，

两式相减，得

． …………9分

由
及2x0＝x1＋x2，得

令
．

∵
，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0．

∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0． …………12分

23解：（1）设
，
，因为
在直线OM上,
,所以

（2）: 设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）

等价于:

其图象为:

由图象知: 当a≤1时,|x-4|+|3-x|

当1＜a时,|x-4|+|3-x|