浙江省鄞州区余姚市2014届高三高考5月模拟考试

数学（理）试题

参考公式：

如果事件
，
互斥，那么 柱体的体积公式

如果事件
，
相互独立，那么 其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式

球的表面积公式

球的体积公式
其中
分别表示台体的上底、下底面积，

其中
表示球的半径
表示台体的高

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，，则
=（ ▲ ）

A．
　 B．
C．
D．

2．复数
（其中
是虚数单位）所对应的点位于复平面的（ ▲ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设
，则“
”是 “
”的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
对任意的实数
，都有
，且
不恒为
，则
是（ ▲ ）

　A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数

　C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数

5．将函数
的图象向左平移
个单位，再向下平移1个单位，得到函

数
的图象，则
的解析式为（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

6．下列命题中，正确的是（ ▲ ）

A．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行

B．平面


，直线m

，则m //

C．直线
是平面
的一条斜线，且


，则
与
必不垂直

D．直线

平面
，直线
//平面
，则

如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断

框中的横线上可以填入的最大整数为（ ▲ ）

A．17 B．16

C．15 D．14

已知双曲线
的焦距长为
，过原点

作圆：
的两条切线，切点分

别是
，且
，那么该双曲线的离

心率为（ ▲ ）

A．
　B．
　 C．
D．

9. 已知函数
，则方程
（
为正实数）的根的个数不可能为（ ▲）

A．6个 B．2个 C．4个 D．3个

用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同

的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ▲ ）

A．10种　 B．12种 C．24种　 D．48种

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11. 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），

根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的

体积是__ ▲ cm3．

12．二项式
的展开式中各项系数和是256，

则展开式中
的系数是__ ▲ ．（用数字作答）

13. 若实数
满足不等式组
， 则

的最小值为__ ▲ ．

14. 已知
是抛物线
:
上的两点，O为坐标原点，若△
的垂心恰好是抛物线
的焦点
，则直线
的方程为__ ▲ ．

15. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球, 设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望为__ ▲ ．

16. 如图，边长为2的正三角形
的两个顶点
分别在
轴的正半轴上滑动，
,求
的最大值是__ ▲ ．

17. 正实数
及函数
满足
，

且
，则
的最小值

为__ ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）已知
中，
为角
所对的边，且

.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
的面积为
，并且边
上的中线
的长为
，求
的长.

19.（本题满分14分）已知等差数列
中，满足
且
成等比数列.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若数列
的公差为非零的常数，且
，记数列
的前
项和为
，当
恒成立，求
的最小值.

20.（本小题满分15分）如图（1），在等腰梯形
中，
是梯形的高，
，
, 现将梯形沿
折起，使
∥
且
，得一简单组合体
如图（2）示，已知
分别为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的正切值为
，则求平面
与平面
所成的锐二面角大小.

21.（本小题满分15分）已知椭圆
：
的离心率
，并且经过定点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
的左右顶点，
为直线
上的一动点(点
不在x轴上），连
交椭圆于
点，连
并延长交椭圆于
点，试问是否存在
，使得
成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）已知函数
，其中
为实数.

（Ⅰ）当
时，判断函数
的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数
，使得对任意

恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出
的值.

题号：03 “数学史与不等式选讲”模块（10分）

（1）解不等式
；

（2）已知
为正实数，求
的最小值．

解：
或

或
综上所解得原不等式的解集为
5分

（2）由柯西不等式有

所以

当且仅当
且
，即
时取等号.

故
的最小值为3. 10分

题号:04 “ 矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块

已知曲线C的参数方程为
．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）过点
的直线
与曲线C交于
两点，求
的取值范围．

解： (1)
5分（除不除x=1均可）

直线
代入曲线C得：

设两根为
，

故
.10分

鄞州余姚2014年高考模拟考试参考答案

数 学（理）

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

B

B

D

B

C

D

A



二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11．________
_______ 12．__________28_____________

13． _ 5 14．_________
___________

15．
　 16．

17．

说明：

已将选择题第6题的选择支A与D对调，故选D；

选择题第10题：情形1；用三种颜色涂色，对面同色，有
；

情形2：4钟颜色都用，其中一组对涂两种不同的颜色，其余两组对面同色，有

故共有6+4=10钟.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．解：（Ⅰ）由题意得：

由正弦定理得：

（Ⅱ）由题意得：
，即：

由余弦定理得：
， 即：

联立上述两式,解得：
或
.

请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效



19．解：（Ⅰ）设公差为
，则有

，又

解得：
或

或
(
)

（Ⅱ）由题意
，

.

的最小值为9.



20. （Ⅰ）证明：连
，∵四边形
是矩形，
为
中点，

∴
为
中点.

在
中，
为
中点，故
.

∵
平面
，
平面
，
平面
.

（Ⅱ）依题意知
且

∴
平面
，
在面
上的射影是
.

就是
与平面
所成的角.

故在
中

.

设
且
，分别以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系

则

设
分别是平面
与平面
的法向量

令
，

即

取

则

平面
与平面
所成锐二面角的大小为
.

请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效