2014高考数学【湖南卷（理）】解析版

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

满足
的复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由题可得
,故选B.

2．对一个容量为
的总体抽取容量为
的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是
则（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即
,故选D.

3．已知
分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

＝（ ）

A．－3 B．－1 C．1 D．3

【答案】C

【解析】分别令
和
可得
且

,则

,故选C.

4．
的展开式中
的系数是（ ）

A．－20 B．－5 C．5 D．20

【答案】A

【解析】第
项展开式为
,

则
时,
,故选A.

5．已知命题
在命题：①
②
③
④
中，真命题是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【解析】当
时,两边乘以
可得
,所以命题
为真命题,当
时,因为
,所以命题
为假命题,所以②③为真命题,故选C.

6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
属于

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】当
时,运行程序如下,
,当
时,
,则
,故选D.

7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径
,则
,故选B.

8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为
，第二年的增长率为
，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】设两年的平均增长率为
,则有

,故选D.

9．已知函数
则函数
的图象的一条对称轴是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】函数
的对称轴为

,

因为

,

所以
或
,则
是其中一条对称轴,故选A.

10．已知函数
的图象上存在关于
轴对称的点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】由题可得存在
满足

,当
取决于负无穷小时,
趋近于
,因为函数
在定义域内是单调递增的,所以

,故选B.

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点，则
，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
的极坐标方程是 ．

【答案】

【解析】曲线
的普通方程为
,设直线
的方程为
,因为弦长
,所以圆心
到直线
的距离
,所以圆心在直线
上,故

（可不化简）

12．如图3，已知
是
的两条弦，
则
的半径等于 ．

【答案】

【解析】设线段
交
于点D延长
交圆与另外一点
,则
,由三角形ABD的勾股定理可得
,由双割线定理可得
,则直径

13．若关于
的不等式
的解集为
，则
．

【答案】

【解析】由题可得

,故填
.

（二）必做题（14－16题）

14．若变量
满足约束条件
，且
的最小值为－6，则
．

【答案】

【解析】求出约束条件中三条直线的交点为

,

且
的可行域如图,所以
,则当
为最优解时,
,当
为最优解时,
, 因为
,所以
,故填
.

15．如图4，正方形
的边长分别为
，原点
为
的中点，抛物线
经过
．

【答案】

【解析】由题可得
,则

,故填
.

16．在平面直角坐标系中，
为原点，
动点
满足
，则
的最大值是 ．

【答案】

【解析】动点
的轨迹为以
为圆心的单位圆,则设为
,则

【考点定位】参数方程 圆 三角函数

三、解答题

17．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
．现安排甲组研发新产品
，乙组研发新产品
．设甲、乙两组的研发相互独立．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品
研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品
研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

17.【答案】(1)
(2)详见解析

【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件
且事件
为事件
的对立事件,则事件
为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为
,

则
,再根据对立事件概率之间的公式可得
,所以至少一种产品研发成功的概率为
.

(2)由题可得设该企业可获得利润为
,则
的取值有
,
,
,
,即
,由独立试验的概率计算公式可得:

;
;

;
;

所以
的分布列如下:























则数学期望

.

【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率

18．如图5，在平面四边形
中，

（1）求
的值；

（2）若
求
的长．

【答案】(1)
(2)

【解析】解:(1)由
关于
的余弦定理可得

,所以
.

(2)因为
为四边形内角,所以
且
,则由正余弦的关系可得

且
,再有正弦的和差角公式可得

,再由
的正弦定理可得

.

19．如图6，四棱柱
的所有棱长都相等，
四边形
均为矩形．

（1）证明：

（2）若
的余弦值．

【答案】(1) 详见解析 (2)

【解析】(1)证明:
四棱柱
的所有棱长都相等

四边形
和四边形
均为菱形

分别为
中点

四边形
和四边形
为矩形

且

又

且
底面

底面
.

(2)过
作
的垂线交
于点
,连接
.不妨设四棱柱
的边长为
.

底面
且底面

面

面

又
面

四边形
为菱形

又
且
,
面

面

又
面

又
且
,
面

面

为二面角
的平面角,则

且四边形
为菱形

,

,

则

再由
的勾股定理可得
,

则

,所以二面角
的余弦值为
.

【考点定位】线面垂直 二面角（缺向量法）

20．已知数列{
}满足

（1）若{
}是递增数列，且
成等差数列，求
的值；

（2）若
，且{
}是递增数列，{
}是递减数列，求数列{
}的通项公式．

【答案】(1)
(2)

【解析】解:(1)因为数列
为递增数列,所以
,则
,分别令
可得

,因为
成等差数列,所以


或
,

当
时,数列
为常数数列不符合数列
是递增数列,所以
.

(2)由题可得
,因为
是递增数列且
是递减数列,所以
且

,两不等式相加可得

,

又因为

,所以
,即
,

同理可得
且