2014高考数学【湖南卷（文）】解析版

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设命题
，则
为（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

【解析】全称命题的否定为特称命题，故由已知选B

2．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】利用数轴，进行集合的交集运算即可，故选C

3．对一个容量为
的总体抽取容量为
的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样均为等概率抽样，即
，故选D

4．下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】根据“偶函数”条件排除C、D，“又在区间
上单调递增”，所以又排除B，故选A

5．在区间
上随机选取一个数
，则的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】满足“
”的
，即区间长度为3，又已知区间长度为5，故选B

6．若圆
与圆
外切，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】由已知两圆的圆心分别为
，
，半径分别为
，
，则由
解得
，故选C

7．执行如图1所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
属于（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】当
时,运行程序如下,
,当
时,
,则
,故选D.

8．一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径
,则
,故选B.

9．若
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】令
，则
,

在(0,1)上不单调，A,B,错；

令
，则
，
在(0,1)上单调递减，故
，即
答案为C

10．在平面直角坐标系中，
为原点，
，
，
，动点
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】D

【解析】动点
的轨迹为以
为圆心的单位圆,则设为
,则

【考点定位】参数方程 圆 三角函数

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．复数
（
为虚数单位）的实部等于 ．

【答案】

【解析】考查复数的基本计算
，实部为

12．在平面直角坐标系中，曲线
（
为参数）的普通方程为 ．

【答案】

【解析】这个关系可以看出来，直接相减即可。
所求方程为

13．若变量
满足约束条件
，则
的最大值为 ．

【答案】

【解析】基本的线性规划题目，画图，可以直接看出（3,1）时有最大值，此时，

14．平面上一机器人在行进中始终保持与点
的距离和到直线
的距离相等．若机器人接触不到过点
且斜率为
的直线，则
的取值范围是 ．

【答案】

【解析】由抛物线定义可知，机器人在曲线
上，且抛物线与直线
无交点，联立得方程
无解，即

15．若
是偶函数，则
．

【答案】

【解析】

又
为偶函数，即

三、解答题

16．已知数列
的前
项和
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和．

【答案】(1)
(2)

【解析】(1)考查减法的定义，属于简单题型

当
时，

当
时，

故数列
的通项公式为

(2)由(1)知，
,记
得前2n项和为
，则

17．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

其中
分别表示甲组研发成功和失败；
分别表示乙组研发成功和失败．

（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．

【答案】(1)甲优于乙 (2)

【解析】 (I) 甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1

其平均数为

方差为

乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,

其平均数为

方差为

因为
所以甲组的研发水平优于乙组

（2）记
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是

,共7个，故事件
发生的频率为

将频率视为概率，即所求概率为

18．如图3，已知二面角
的大小为
，菱形
在面
内，
两点在棱
上，
，
是
的中点，
面
，垂足为
．

证明：
平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的余弦值．

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】（1）如图a，因为
，
，所以
，连接
由题设知，
是正三角形，又
是
的中点同，所以
．

而
，故
平面
．

（2）因为
，所以
与
所成的角等于
与
所成的角，即
是
与
所成的角．

由（1）知，
平面
，所以
，又
，于是
是二面角
的平面，从而
．

不妨设
，则
．易知
．在
中，
．

连接
，在
中，
．

故异面直线
与
所成角的余弦值为
．

19．如图4，在平面四边形
中，
，
．

（1）求
的值；

（2）求
的长．

【答案】(1)
(2)

【解析】(1)设
，在
中，

由余弦定理得，
,即

舍去
.

在三角形CDE中，由正弦定理得
，

于是
即

(2)由题设知，
，于是由(1)知，

而
所以

=

在
中，
,故

20．如图5，
为坐标原点，双曲线
和椭圆