浙江省湖州二中2014届高三高考预测

数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知全集U=R，集合M=
,N=
,则
（ ）

A．
B．

C．
D．

已知i为虚数单位，则复数
在复平面内表示的点位于（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

已知函数
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

已知
为互相垂直的单位向量，若向量
与
的夹角等于
，则实数
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（ ）

A．7 B．8

C．9 D．10

若
满足约束条件
取得最小值时的点有无数个，则k=（ ）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或 -2

已知函数
若函数
有6个零点，则b的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

设m，n是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

设双曲线
的左、右焦点分别为
，如图，过
于双曲线一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点P，若
为钝角，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为
，若对任意的
总有
满足
则这样的排列共有（ ）

A．36 B．32 C．28 D．20

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

若
.

一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______________.

若
，则
_______________.

若正数
为_________________.

已知数列
满足：
，且
，，则
的通项公式为
=_____________.

圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM
MP，则P点形成的轨迹的长度为______________.

设
表示不超过
的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.设集合
，集合B=
，则
表示的平面区域的面积为_______________.

二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

（本题满分14分）

已知数列
的前n项和
，满足：
，且
.

求证：数列
是等比数列；

已知
，数列
的前n项和Tn,若存在正整数M，m,使
对任意正整数n恒成立，求M，m的值.

（本题满分14分）

一个盒子中装有5张卡片，上面分别记着数字1，1，2，2，2，每张卡片从外观上看毫无差异，现从盒子中有放回的任意取2张卡片，记下上面数字分别为X和Y，两次所得数字之和记为M，即M=X+Y

(1)求随机变量M的分布数列和数学期望

（2）若规定所得数字之和为3即可获得奖品，先甲乙两人各自玩了一次上面的游戏，试求两人之中至少有一人获得奖品的概率

（本题满分14分）

如图，已知菱形ABCD的边长为6，
，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使
，得到三棱锥B-ACD

若CM=2MB，求证：直线OM与平面ABD不平行；

求二面角A—BD—O的余弦值；

设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=
，并证明你的结论。

（本题满分15分）

已知椭圆C：
经过点
，其离心率为

求椭圆C的方程；

设直线
与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围

（本题满分14分）

已知函数
.

（1）若对

恒成立，求
的取值范围；

（2）当
=1时，

(i).求最大正整数k，使得任意k个实数
[e，3]，都有
（e=2.71828…是自然对数的底数）；

(ii).求证：
.

理科数学参考答案

一、选择题答案

1-5 ABBDC 6-10 DACDB

二、填空题答案

11.
12.
13.
14.

15.
16.
17.

三、解答题

18.解：（1）当
时，由
两式相减得
，

又当

所以

所以
是以1为首项，2为公比的等比数列。

（2）由（1）得
，

两式相减得

所以M可以取大于等于4的任意整数

综上，存在正整数M,m,使得
对任意正整数n恒成立，其中

19.解：(1)由题意：M的取值可以是2,3,4

,
,

M

2

3

4



P











(2)设“从5张卡片中有放回地抽取2次，所得数字之和为3”为事件A,则
,则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于2次独立重复试验中事件A至少发生一次，其概率为

20.（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，

所以O是AC的中点，

又点M是棱BC的中点，

所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，

因为
平面ABD，
平面ABD，

所以OM∥平面ABD。

（2）解：由题意，OB=OD=3，

因为
，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，

又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，

建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，

，

所以
，

设平面ABD的法向量为
（x，y，z），

则有
即：
，

令x=1，则
，所以
，

因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，

平面BOD的法向量与AC平行，

所以平面BOD的法向量为
，

，

因为二面角A-BD-O是锐角，

所以二面角A-BD-O的余弦值为
。

（3）解：因为N是线段BD上一个动点，设
，
，

则
，

所以
，

则
，

由
得
，即
，

解得
或
，

所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）。

21.解：⑴由已知可得
，所以
①，又点
在椭圆
上，

所以
②.解得
.故椭圆
的方程为
.

⑵由
消
化简整理得：

③

设
点的坐标分别为
则

由于点
在椭圆
上，所以

从而
，化简的
，经检验满足③式.

又

因为
，得
，故

即所求
的取值范围是

22.解：⑴由
整理得
.
，
要使不等式
恒成立，必须
恒成立.设

，

设


当
时，
，则
是增函数.
，
是增函数，
，则
.因此实数
的取值范围是
.

⑵ⅰ当
时，
，
，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
.

要对
内的任意
个实数
都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值.