浙江省杭州二中2014届高三6月热身考

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，集合
，若
, 则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知函数
，若
是
的导数，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 在
的展开式中，只有第
项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设函数
条件
：“
”；条件
：“
为奇函数”，则
是
的 （ ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 设
是等差数列
的前
项和，
, 则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 设
为
的外心，且
，则
的内角
=（ ）

A.
B.
C.
D.

7．如图，已知球
是棱长为1 的正方体
的内切球，则平面
截球
的截面面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 过
的直径的三等分点
作与直径垂直的直线分别与圆周交
，如果以
为焦点的双曲线恰好过
，则该双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知正方形
的边长为6，空间有一点
（不在平面
内）满足
，则三棱锥
的体积的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．设函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
满足：①
在
上是单调函数；②
在
上的值域是
，则称区间
是函数
的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）

A．函数
（
）存在“和谐区间”

B．函数
（
）不存在“和谐区间”

C．函数


）存在“和谐区间”

D．函数
（
，
）不存在“和谐区间”

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11. 如果复数
的实部和虚部相等，则
等于 ▲ .

12. 各项均为实数的等比数列
的前n项和为
，若
，
，则
等于 ▲ .

13．如上图所示算法程序框图中，令

，则输出结果为 ▲ .

14．在△
中，
所对边分别为
、
、
．若
，则

▲ .

15. 已知点
的坐标满足
，设
，则
（
为坐标原点）的最大值为 ▲ .

16. 正方体
的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线
垂直的直线共有 ▲ 条.

17．将
的图像向右平移2个单位后得曲线
，将函数
的图像向下平移2个单位后得曲线
，
与
关于
轴对称．若
的最小值为
且
，则实数
的取值范围为 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分14分）已知函数
的最大值为2.

（Ⅰ）求函数
在
上的单调递减区间；

（Ⅱ）
中,
,角
所对的边分别是
，且
，求
的面积．

19．（本小题满分14分）袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同.每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过
次
.

（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数
的数学期望与方差；

（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数
的分布列与数学期望.

20. （本小题满分14分）如图，四面体
中，
是
的中点，
和
均为等边三角形，
。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求
点到平面
的距离.

21. （本小题满分15分）给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”. 若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，且
分别交其“准圆”于点M, N，

（1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求
的方程. （2）求证：
为定值.

22.（本小题满分15分）已知函数
（其中
为常数，
）， 将函数
的最大值记为
，由
构成的数列
的前
项和记为
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若对任意的
，总存在
使
，求
的取值范围；

（Ⅲ）比较
与
的大小，并加以证明.

2014年杭州二中高三数学热身考理科数学答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1. C 2. D. 3. A 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B. 根据题意
9. D

10. 根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间
即可，对函数
（
），“和谐区间”


，函数
是增函数，若存在“和谐区间”
，则
，因此

方程
至少有两个不等实根，考虑函数
，由

，得
，可得
在
时取得最小值，而
，即
的最小值为正，
无实根，题设要求的
不存在，因此函数
（
）不存在“和谐区间”， 函数


）的“和谐区间”为
，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D，事实上，
在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”
为
，故D中的命题是错误的．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.
12. 150 13．
（c也可以） 14. 三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得
，
，所以有
，即
，在三角形中

，于是有
，
，
． 15. 2 16．平面
与B1D垂直，这样的与B1D垂直的平面(与平面
平行)有四个，此时与B1D垂直的直线有4
条，中点E、F、G、H、M、N所构成的平面与B1D垂直，此时与B1D垂直的直线有
条，
与B1D垂直的直线有4
+
=27 17. 首先应求出
的表达式，曲线
对应的函数式为
， 曲线
与
关于
轴对称，因此
的函数解析式为
，
向上平移2个单位，就是函数
的图象，则
.
，其最小值大于
，说明函数
的最小值大于
.下面观察函数
，若

，则当
时，
，
无最小值，同理当
时，
时
，
，
无最小值，因此
，
，当且仅当
时等号成立，即
最小值为
，从而

，解得
.

三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（1）由题意，
的最大值为
，所以
．而
，于是
，
．
为递减函数，则
满足

，

即

． 所以
在
上的单调递减区间为
．

（2）设△ABC的外接圆半径为
，由题意，得
．

化简
，得
．

由正弦定理，得
，
． ①

由余弦定理，得
，即
． ②

将①式代入②，得
．解得
，或
（舍去）．

19．（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，
的可能取值为1，2，3，4，5，

易知

（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球
次结束，

的可能取值是
，所求概率分布列为

1

2

3

…

k－1

k



P







…








……2分

所以，

上述两式相减，整理得

20．解法一：（I）证明：连结
，

为等边三角形，
为
的中点，