安徽省安庆一中2014届高三高考热身考试

数学（理）试题

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1.已知
为虚数单位,则复数
在复平面上所对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知全集
，集合
，则
为（ ）

A．
B．
C． {0，1} D．

3.若
展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知向量
，
，则“
”是“
与
夹角为锐角”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

6. 设数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7.函数

的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，

过点A的直线
与函数的图像交于C、B两点，则
（ ）

A．―8 B．―4 C．4 D．8

8.设函数
是定义在R上的函数，其中
的导函数
满足

对于
恒成立，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9. 右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示估计

的结果，则图中空白框内应填入（ ）

A．

B．

C．

D．

10. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系
轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心
在
轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.

今使“凸轮”沿
轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）

11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱髙为4，体积为16，则这个球的表面积是_______.

12. 已知
、
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为7,

则
的最小值为 .

13. 已知
分别是椭圆
的右顶点和上顶点，动点
在该椭圆上运动，则
的重心
的

轨迹的方程为 .

14.已知函数
在
处取得极值，且函数

在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为 .

15.如图，平面
与平面
交于直线
，A，C是平面
内不同的两点，B，D是平面
内不同的两点，且A，B．C．D不在直线
上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断错误的是 .

①若AB与CD 相交，且直线AC平行于
时，

则直线BD与
可能平行也有可能相交

②若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与
平行

③若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，

则AB，CD不可能是异面直线

④M，N两点可能重合，但此时直线AC与
不可能相交

三、解答题（本大题共6小题，共75分．）

16 （本小题满分12分）

函数
的导函数
的部分图像如图所示,

其中点
为
的图像与
轴的交点,
为图像与
轴的

两个交点,
为图像的最低点.

(1)求曲线段
与
轴所围成的区域的面积

(2)若
,点
的坐标为(0,
),且
，求
在区间
的取值范围。

17 （本小题满分12分）

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
表示，椐统计，随机变量
的概率分布如下：

0

1

2

3















(Ⅰ)求
的值和
的数学期望；

（Ⅱ）若一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

18 （本小题满分12分）

如图在四面体
中，
平面
，

是
的中点，点
是
的中点，点
在线段
上

且
(1)证明
平面
;

若
，求二面角
的大小。

19（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，过右焦点F的直线
与椭圆
相交于
、
两点，

当
的斜率为1时，坐标原点
到
的距离为

（I）求
，
的值；

（II）若
上存在点P，使得当
绕F转到某一位置时，有
成立，求出所有P的坐标与
的方程。

20（本小题满分13分）

在
个不同数的排列
（即前面某数大于

后面某数）则称
构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列

（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.

（1）求（1，3，40，2）的逆序数；

（2）已知n+2
个不同数的排列
的逆序数是2.

（ⅰ）求
的逆序数an

（ⅱ） 令

21. (本题满分为14分)已知
，函数
.

(1)若
，求函数
的极值；

(2)是否存在实数
,使得
恒成立？若存在,求出实数
的取值集合；

若不存在，请说明理由．

安庆一中2014届高三第四次模拟考试（数学理科）答案

一 DBDAD BDCDA

二 11
12 7 13
14
15 ①②③

16(1)设曲线段
与
轴所围成的区域的面积为
则
………………4分

(2) 由图知
,
,

∵点P的坐标为(0,
) ∴
………………8分

∴

……12分

17解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2
+
=1，解答
=0.2

的概率分布为

0

1

2

3



P

0.1

0.3

0.4

0.2





设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件
表示“两个月内有一个月被投诉2次，

另外一个月被投诉0次”；事件
表示“两个月内每月均被投诉1次”

则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

18解证明(Ⅰ)方法一如图6取
的中点
且
是
的中点

所以
因为
是
的中点所以
;

又因为(Ⅰ)
且
所以

所以面
面
且
面

所以
面
; …………… …6分

方法二如图7所示取
的中点
且
是
的中点

所以
;

取
的四等分点，
使
且

所以

所以
且

所

; …………… …6分

(Ⅱ)如图8所示由已知得到面
面
，过
作
于

所以
，过
作
于
连接

所以
就是
的二面角的平面角;

又

得
…………… …12分

19 解 (I）设
，直线
，由坐标原点
到
的距离为

则
，解得
.又
…………4分.

（II）由(I）知椭圆C的方程为
. 设
、

由题意知
的斜率一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得
，显然
。

由韦达定理有：

．．．．．．．．①．．．．．．．．．．6分．

.假设存在点P，使
成立，则其充要条件为：

点
，点P在椭圆上，即
。

整理得
。

又
在椭圆上，即
.

故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将
及①代入②解得
.．．．．．．．．．．10分

,
=
,即

当
;

当
. ………………12分

20解：（1）
…………3分

（2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有
个大小关系

…………6分

（3）

………10分

…………13分

21.（本题满分14分）