一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置.

1、已知是虚数单位，和都是实数，且
，则
等于（ ）

A． B．
C．1 D．-1

2、若函 数
的 表 达 式 是

A．
B．
C．
D．

3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<
的最小整数n是 （ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

4、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A.
B.
C.
D.

5、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正

三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

A．
B．

C．
D．

6、.设点P(x,y)满足条件
，点Q（a,b）满足
恒成立，其中O是原点，
，则Q点的轨迹所围成图形的面积是（ ）

A.
B.1 C.2 D.4

7、已知在
中
，
的平分线AD交边BC于点D，且
，则AD的长为( )

（A）
（B）
（C）1 （D）2

8.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别

是，
，
，…，
；（2）从第二行起，各行中的每

一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．问：

当
时，第
行的第
个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如果关于的一元二次方程
中，、分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面
截球O的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角
的平面角为
，则球O的表面积为( )

A.
B.
C.
D.

11、动点
为椭圆

上异于椭圆顶点
的一点，
为椭圆的两个焦点，动圆
与线段
的延长线及线段
相切，则圆心
的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A．一条直线 B．双曲线右支 C．抛物线 D．椭圆

12、定义在上的奇函数
，当
时，
，则关于的函数

的所有零点之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13.已知
的展开式中，二项式系数最大的项的值等于
，则实数
的值为 .

14. 用
表示a，b两个数中的最大数，设

，那么由函数
的图象、x轴、直线
和直线
所围成的封闭图形的面积是 .

15. 已知
，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1 k2≠0），若
的最小值为1，则椭圆的离心率为 。

16.已知
的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，
，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=
有4个零点，则实数k的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分12分)△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列．

（I）若sin2B= sinAsinC，试判断△ABC的形状；

（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a>c，试求
的取值范围

18、(本小题满分12分)在平面
内，不等式
确定的平面区域为
，不等式组
确定的平面区域为
.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域
任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域
的概率；

（Ⅱ）在区域
每次任取个点，连续取
次，得到
个点，记这
个点在区域
的个数为
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，
分别是正三棱柱
的棱
、
的中点，且棱
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使二面角
的大小为
，若存在，求
的长，若不存在，说明理由。

20．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点（
，
）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

21、(本小题满分12分)设函数

(1)当
时，求函数
的最大值；

(2)令
，（
）

其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数的取值范围；

(3)当
，
，方程
有唯一实数解，求正数的值．

22、4-1（几何证明选讲）（本小题10分）

如图,
内接于⊙,
是⊙的直径,
是过点的直线, 且
.

(Ⅰ) 求证:
是⊙的切线;

(Ⅱ)如果弦
交
于点,
,
,
, 求
.

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中, 过点
作倾斜角为的直线
与曲线
相交于不同的两点
.

(Ⅰ) 写出直线
的参数方程;

(Ⅱ) 求
的取值范围.

24.选修4-5：不等式选讲

设不等式
的解集为
, 且
.

(Ⅰ) 试比较
与
的大小;

(Ⅱ) 设
表示数集中的最大数, 且
, 求
的范围.

25、实验班附加

已知函数
，设曲线
在与轴交点处的切线为
，
为
的导函数，满足
．

（Ⅰ）设
，
，求函数
在
上的最大值；

（Ⅱ）设
，若对一切
，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

ABCDD AAAAD AB

13.
14.
15.
16.

17.

18. 解：（Ⅰ）依题可知平面区域
的整点为：
共有13个，上述整点在平面区域
的为：
共有3个，

∴
. ……………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）依题可得，平面区域
的面积为
，

平面区域
与平面区域
相交部分的面积为
.

（设扇形区域中心角为，则
得
，也可用向量的夹角公式求）.

在区域
任取1个点，则该点在区域
的概率为
，随机变量
的可能取值为：
.

，
，

，
，

∴
的分布列为

0

1

2

3















∴
的数学期望：
.………………（12分）

（或者：
～
，故
）.

19、

解】【法一】（Ⅰ）在线段
上取中点，连结
、
.

则
，且
，∴
是平行四边形……3′

∴
，又
平面
，
平面
，

∴
平面
.……5′

（Ⅱ）由
，
，得
平面
.

过点作
于
，连结
.

则
为二面角
的平面角……8′

在
中，由
，
得

边上的高为
，∴
，又
，

∴
，∴
.……11′

∴
在棱
上时，二面角
总大于
.

故棱
上不存在使二面角
的大小为
的点
. ……12′

【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则
、
、
、
、
、
.

∴
、
、
、
、
、

、
.……4′

（Ⅰ）∵
且
平面
，

∴
平面
.……5′

（Ⅱ）取
，则
，
.

∴
，
，即
为面
的一个法向量………7′

同理，取
，则
，
.

∴
，
，
为平面
的一个法向量……9′

，∴二面角
为
.

又∵
，∴二面角
大于
. ……11′

∴
在棱
上时，二面角
总大于
.

故棱
上不存在使二面角
的大小为
的点
. ……12′

20. 解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为
（a＞b＞0），则

则
故

所以，椭圆方程为
．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由
消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且
，
．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以
=k2，

即
+m2=0，又m≠0，

所以k2=
，即k=
．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=
d|PQ|=
|x1﹣x2||m|=
，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

21.

所以≥
，

当
时，
取得最大值
，所以≥
………8分

(3)因为方程
有唯一实数解，

因为
，所以方程（*）的解为
，即
，解得
……………12分

22. （Ⅰ）证明：
为直径，

，

为直径，
为圆的切线
…………………… 4分

（Ⅱ）

∽

∽

在直角三角形
中

…………………… 10分

23. （Ⅰ）

为参数）…………………………………… 4分

（Ⅱ）

为参数）代入
，得

，

……10分

24.（Ⅰ）
，

……………………………………… 4分

（Ⅱ）

………………………………………… 10分

25、（Ⅰ）
，
，

函数
的图像关于直线
对称，则
．

直线
与轴的交点为
，
，且
，

即
，且
，解得
，
．

则
．

故
，

其图像如图所示．当
时，
，根据图像得：

（ⅰ）当
时，
最大值为
；

（ⅱ）当
时，
最大值为
；

（ⅲ）当
时，
最大值为
． ……………………………8分

（Ⅱ）方法一：
，则
，

， 当
时，
，

不等式
恒成立等价于
且
恒成立，

由
恒成立，得
恒成立，

当
时，
，
，
，

又当
时，由
恒成立，得
，

因此，实数的取值范围是
．……………………………………12分

方法二：（数形结合法）作出函数
的图像，其图像为线段
（如图），

的图像过点时，
或
，

要使不等式
对
恒成立，

必须
，

又当函数
有意义时，
，

当
时，由
恒成立，得
，

因此，实数的取值范围是
． …………………………………12分

方法三：
，
的定义域是
，

要使
恒有意义，必须
恒成立，

，
，即
或
． ①

由
得
，

即
对
恒成立，

令
，
的对称轴为
，

则有
或
或

解得
． ②

综合①、②，实数的取值范围是
． ………………………………12分