2014山东省高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A.0 B.1 C.2 D.3

2. 复数
，则复数
在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知直线
平面，直线∥平面
，则“
”是“
”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　）

A．

8

B．

7

C．

6

D．

5



　

5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（　　）

A．

4

B．

8

C．

16

D．

20



6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为（　　）

A．

3

B．

5

C．

6

D．

8



7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（　　）

A.[6K-1，6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)

C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线
围成的区域内（阴影部分）的概率为（　　）

A．



B．



C．



D．





9．已知抛物线
的焦点F与双曲
的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且
，则A点的横坐标为

(A)
(B)3 (C)
(D)4

10.已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f（2013）=（　　）

A.10 B.-5 C.5 D.0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.（3x+
）6的展开式中常数项为　　（用数字作答）．

12. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足
，则
=　　．

13. 设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则
+
的最小值为（　　）

A．

4

B．



C．

1

D．

2





14.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是　________　．

15.已知集合A={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）?f（x﹣y），x、y∈R}，有下列命题：

①若f（x）=
，则f（x）∈A；

②若f（x）=kx，则f（x）∈A；

③若f（x）∈A，则y=f（x）可为奇函数；

④若f（x）∈A，则对任意不等实数x1，x2，总有
成立．

其中所有正确命题的序号是　______　．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．在△ABC中，已知A=
，
．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2
，D为AB的中点，求CD的长．

17.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．

（Ⅰ）求证：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为
，求PA的值．





18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为
，记
．

（I）求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列和数学期望．

19. 设数列
的前项和为
，点
在直线
上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，

求数列
的前项和
，并求使
成立的正整数的最大值.

20. 给定椭圆C：
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
．

（1）若椭圆C上一动点M1满足|
|+|
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
，求P点的坐标；

（3）已知m+n=﹣
（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离
．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数f（x）=
ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a＞0）．

（Ⅰ） 若a≠
，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当
＜a＜1时，判断函数f（x）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．

2014山东省高考压轴卷

理科数学参考答案

1.【答案】C

【解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}，

所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．

所以A∩B中元素的个数为2．

故选C．

2. 【答案】D

【解析】因为
，所以
，所以复数
在复平面上对应的点位于第四象限.

3. 【答案】A.

【解析】当
时，由
平面得，
，又直线∥平面
，所以
。若
，则推不出
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，选A.

4. 【答案】A.

解：由a1=1，a3=5，可解得公差d=
=2，

再由Sk+2﹣Sk=ak+2+ak+1=2a1+（2k+1）d=4k+4=36，

解得k=8，

故选A

5. 【答案】B.

【解析】由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4

底面积S=
×6×2=6，

所以V=
Sh=
×6×4=8

故选B

6. 【答案】A.

【解析】模拟程序框图执行过程，如下；

开始，

输入x：2014，

a=x=2014，

i=1，

b=
=
=﹣
，

b≠x？

是，

i=1+1=2，

a=b=﹣
，

b=
=
；

b≠x？

是，

i=2+1=3，

a=b=
，

b=
=2014；

b≠x？

否，

输出i：3；

故选：A．

7. 【答案】B.

【解析】|AB|=5，|yA﹣yB|=4，

所以|xA﹣xB|=3，即
=3，

所以T=
=6，ω=
；

∵f（x）=2sin（
x+φ）过点（2，﹣2），

即2sin（
+φ）=﹣2，

∴sin（
+φ）=﹣1，

∵0≤φ≤π，

∴
+φ=
，

解得φ=
，函数为f（x）=2sin（
x+
），

由2kπ﹣
≤
x+
≤2kπ+
，

得6k﹣4≤x≤6k﹣1，

故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．

故选B.

8. 【答案】B.

【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为
=
=
，

∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为
=
，

故选B．

9. 【答案】B.

【解析】抛物线的焦点为
，准线为
。双曲线的右焦点为
，所以
，即
，即
。过F做准线的垂线，垂足为M,则
，即
，设
，则
代入
，解得
。选B.

10.【答案】D











【解析】由f（x+6）+f（x）=2f（3），知f（x+12）+f（x+6）=2f（3），两式相减，得f（x+12）=f（x）

由y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x﹣1）+f（1﹣x）=0，故f（x）是奇函数．

由f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=﹣3，得f（3）=f（﹣3），于是f（3）=f（﹣3）=0，

于是f（2013）=f（2013﹣12×167）=f（9）=f（﹣3）=0

故选D．



11. 【答案】135.

【解析】此二项式的展开式的通项为
，

令
，解得r=4，∴常数项为
，

故答案为：135．

12. 【答案】﹣
.

【解析】∵

∴
=

=

∴
=

又△ABC为边长为1的等边三角形，

∴
=

=

故答案为：﹣

13. 【答案】4.

【解析】作出不等式组
表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC及其内部，其中

A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点

设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，

观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值

∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．

因此，
+
=（
+
）×
（4a+6b）=2+
（
），

∵a＞0，b＞0，可得
≥
=12，

∴当且仅当
即2a=3b=3时，
的最小值为12，

相应地，
+
=2+
（
）有最小值为4．

14. 【答案】（﹣∞，﹣5].

【解析】∵当x≥0时，f（x）=x2，

∴此时函数f（x）单调递增，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴函数f（x）在R上单调递增，

若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，

则x+a≥3x+1恒成立，

即a≥2x+1恒成立，

∵x∈[a，a+2]，

∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，

即a≥2a+5，

解得a≤﹣5，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；

故答案为：（﹣∞，﹣5]；

15. 【答案】②③.

【解析】①令x≥y≥0，f2（x）﹣f2（y）=0而f（x+y）f（x﹣y）=1，∴①错误的；

②当f（x）=kx时，f2（x）﹣f2（y）=k2x2﹣k2y2=k（x﹣y）?k（x+y）=f（x+y）?f（x﹣y）成立，∴②正确．

③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f2（0）﹣f2（y）=f（y）f（﹣y）即f（y）（f（y）+f（﹣y））=0，

则有f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），因此f（x）为奇函数，∴③正确；

④如函数f（x）满足条件：
成立．则函数在定义域上是减函数，

由②知当y=kx时，满足条件，但当k＞0时，函数y=kx为增函数，∴④不满足条件，故∴④错误．

故答案为：②③

16. 【解析】（Ⅰ）
且
，∴
…………2分

……………………………………………4分

…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
……………………8分

由正弦定理得
，即
，解得
． ………………………………10分

在
中，

，所以

17. 【解析】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，

因为AD?平面PAB，

所以BC⊥AD．…（2分）

又AD⊥PB，BC∩PB=B，

所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）

又PC⊥AE，AD∩AE=A，

所以PC⊥平面ADE，

因为DE?平面ADE，

所以PC⊥DE…（6分）

（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． …（7分）

设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），

因为PC⊥平面ADE，所以
是平面ADE的一个法向量，

所以向量
所成的角的余弦值的绝对值为
，…（9分）

又

则
，解得a=1

所以PA=1…（12分）

18. 【解析】（I）
、可能的取值为、、
，…………………1分

，
，

，且当
或
时，
．

因此，随机变量
的最大值为
…………………………4分

有放回摸两球的所有情况有
种

………6分

（Ⅱ）
的所有取值为
．

时，只有
这一种情况．

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况．

，
，
…………………………8分























则随机变量
的分布列为：

………………10分

因此，数学期望
…………………12分

19. 【解析】（Ⅰ）由题设知，
……………………………1分

得
），………………………………2分

两式相减得：
，

即
，………………………………4分

又
得
，

所以数列
是首项为2，公比为3的等比数列，

∴
. …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

因为
， 所以

所以
……………………8分

令
…
，

则
…
①

…
②

①…②得
…
……………10分

…………………………………11分

所以
，即
，

得

所以，使
成立的正整数的最大值为……………………12分

20. 【解析】（1）由题意，
，∴
=
，所以椭圆C的方程为
．

其“伴随圆”的方程为x2+y2=6；

（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4=0

∴由△=（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）=0得t2=4k2+2①，

由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，可得
，即t2=3（k2+1）②

由①②可得t2=6．

∵t＜0，∴t=﹣
，∴P（0，﹣
）；

（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为
，∴y=（m+n）x﹣mn，

∵m+n=﹣
（0，π）），

∴
，得xcosθ+ysinθ﹣3=0，

∴由于圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ﹣3=0的距离为d=
=3．

当a2+b2≥9时，dmin=0，但
，所以，等式不能成立；

当a2+b2＜9时，dmin=3﹣
，由3﹣
=
﹣b得9+6b+b2=4a2+4b2．

因为a2=b2+2，所以7b2﹣6b﹣1=0，

∴（7b+1）（b﹣1）=0，∴b=1，a=
．

21. 【解析】（Ⅰ）∵
（x＞0）．

即
（x＞0）．

∵
，∵

∴
时，

时，
，由f'（x）＞0得
或x＜2

由f'（x）＜0得

所以当
，f（x）的单调递增区间是（0，2]和
，单调递减区间是

同理当
，f（x）的单调递增区间是
和[2，+∞），单调递减区间是

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

当
时，f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，

故
．

由
可知﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，

故在区间[1，2]f（x）＜0．恒成立．

故当
时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．