2014山东省高考压轴卷

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．

0

B．

0 B.1



C.2



D.3



2. 复数
，则复数
在复平面上对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知直线
平面，直线∥平面
，则“
”是“
”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　）

A．

8

B．

7

C．

6

D．

5





5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（　　）

A．

4

B．

8

C．

16

D．

20



6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为（　　）

A．

3

B．

5

C．

6

D．

8









7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（　　）

A.[6K-1，6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)

C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

8．在约束条件
下，目标函数
的最大值为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

9. 直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8



10. 已知函数f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）（　　）

A．

若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b

B．

若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜b



　

C．

若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b

D．

若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为__________.

12.设函数f（x）=
，若函数y=f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是　________________.

．

13. 设数列
是公差为1的等差数列，且a1=2，则数列{lgan}的前9项和为_______________．

14. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是________________．

15.若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是__________________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16.在△ABC中，已知A=
，
．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2
，D为AB的中点，求CD的长．

17.如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．

（1）求证：B1B∥平面D1AC；

（2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．

组号

分组

频数

频率



第1组









第2组









第3组









第4组









第5组









合计







18.某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取
名学生的成绩（得分均为整数，满分
分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若从成绩较好的第
、、
组中按分层抽样的方法抽取
人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有1人是第四组的概率．

19. 设数列
的前项和为
，点
在直线
上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，求数列
的前项和
.

20. 给定椭圆C：
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
．

（1）若椭圆C上一动点M1满足|
|+|
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
，求P点的坐标.

21. 已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）

（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；

（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）﹣1≥a
.

2014山东省高考压轴卷

文科数学参考答案

1. 【答案】C.

【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}，

所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．

所以A∩B中元素的个数为2．

故选C．

2. 【答案】D.

【解析】因为
，所以
，所以复数
在复平面上对应的点位于第四象限.

3. 【答案】A.

【解析】当
时，由
平面得，
，又直线∥平面
，所以
。若
，则推不出
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，选A.

4. 【答案】 A

【解析】当
时，由
平面得，
，又直线∥平面
，所以
。若
，则推不出
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，选A.

5. 【答案】B.

【解析】 解：由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4

底面积S=
×6×2=6，

所以V=
Sh=
×6×4=8

故选B

6. 【答案】A.

【解析】解：模拟程序框图执行过程，如下；

开始，

输入x：2014，

a=x=2014，

i=1，

b=
=
=﹣
，

b≠x？

是，

i=1+1=2，

a=b=﹣
，

b=
=
；

b≠x？

是，

i=2+1=3，

a=b=
，

b=
=2014；

b≠x？

否，

输出i：3；

故选：A．

7. 【答案】B.

【解析】解：|AB|=5，|yA﹣yB|=4，

所以|xA﹣xB|=3，即
=3，

所以T=
=6，ω=
；

∵f（x）=2sin（
x+φ）过点（2，﹣2），

即2sin（
+φ）=﹣2，

∴sin（
+φ）=﹣1，

∵0≤φ≤π，

∴
+φ=
，

解得φ=
，函数为f（x）=2sin（
x+
），

由2kπ﹣
≤
x+
≤2kπ+
，

得6k﹣4≤x≤6k﹣1，

故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．

故选B.



8. 【答案】C.

【解析】由
得
。作出可行域如图阴影部分，平移直线
，由平移可知，当直线经过点C时，直线
的截距最大，此时最大。

由
解得
，

代入
得
，选C.

9. 【答案】D.

【解析】 解：设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点，

分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，

由抛物线定义，

得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|

=
=xA+xB+p=2xC+p=8．

故选：D．

10. 【答案】A.

【解析】解：根据复合函数的单调性可知，f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）为增函数，

∵函数的定义域为（0，+∞）．

∴a＞0，b＞0，

设g（x）=f（x）+2x，

∵f（x）是增函数，

∴当x＞0时，g（x）=f（x）+2x为递增函数，

∵f（a）+2a=f（b）+3b，

∴f（a）+2a=f（b）+3b＞f（b）+2b，

即g（a）＞g（b），

∵g（x）=f（x）+2x为递增函数，

∴a＞b，

故选：A．

11. 【答案】 30.

【解析】落在[80 ,100]上的频率为
，所以落在[80 ,100]上的人数为
.

12. 【答案】（0，1].

【解析】解：∵函数y=f（x）﹣k存在两个零点，

∴函数y=f（x）与y=k的图象有两个公共点，

在同一个坐标系中作出它们的图象，

由图象可知：实数k的取值范围是（0，1]，故答案为：（0，1].

13. 【答案】1.

【解析】解：∵
是公差为1的等差数列，

∴
，

∴
，

∴

∴数列{lgan}的前9项和为：

S9=（lg2﹣lg1）+（lg3﹣lg2）+…+（lg10﹣lg9）=lg10=1．

故答案为：1．

14. 【答案】（﹣∞，﹣5].

【解析】 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，

∴此时函数f（x）单调递增，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴函数f（x）在R上单调递增，

若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，

则x+a≥3x+1恒成立，

即a≥2x+1恒成立，

∵x∈[a，a+2]，

∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，

即a≥2a+5，

解得a≤﹣5，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；

故答案为：（﹣∞，﹣5].

15. 【答案】5.

【解析】解：由3x+y=5xy得
，

∴4x+3y=（4x+3y）（
）=
，

当且仅当
，即y=2x，即5x=5x2，

∴x=1，y=2时取等号．

故4x+3y的最小值是5，

故答案为：5.

16.解：（Ⅰ）
且
，∴
…………2分

……………………………………………4分

…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
……………………8分

由正弦定理得
，即
，解得
． ………………………………10分

在
中，

，所以
.

17.证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．

∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=
，

∴四边形B1D1EB是平行四边形，

所以B1B∥D1E．

又因为B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC，

所以B1B∥平面D1AC

（2）侧棱DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴AC⊥DD1．

∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．

∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B1BDD1

∵AC?平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．

18.解：（I）
……………………………………………………………12分

（Ⅱ）因为第
、、
组共有
名学生，所以利用分层抽样在
名学生中抽取
名学生，每组分别为：

第
组：
人，

第组：
人，

第
组：
人，

所以第
、、
组分别抽取
人，人，人. …………6分

设第
组的
位同学为
、
、
，第组的位同学为
、
，第
组的位同学为
，则从六位同学中抽两位同学有
种可能如下：

…………10分

所以其中第组的位同学至少有一位同学入选的概率为
…………12分

19. 解：（Ⅰ）由题设知，
…………………………1分

得
）………………………………2分

两式相减得：

即
，…………………………4分

又
得

所以数列
是首项为2，公比为3的等比数列，

所以
. …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

因为
所以

所以
.……………………8分

令
…
，

则
…
①

…
②

①—②得
…
…………………10分

……………………………………11分

……………………………………12分

20. 解：（1）由题意，
，∴
=
，所以椭圆C的方程为
．

其“伴随圆”的方程为x2+y2=6；

（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4=0

∴由△=（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）=0得t2=4k2+2①，

由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，可得
，即t2=3（k2+1）②

由①②可得t2=6．

∵t＜0，∴t=﹣
，∴P（0，﹣
）.

21. （Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=2lnx+1，

，f（e）=3，
．

∴函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y﹣3=
，

即2x﹣ey+e=0；

（Ⅱ）证明：令
=
，

则
，由g′（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴g（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，

因此g（x）≥g（1）=0，即
．