2014年北京市高考模拟试卷（预测卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合
，
，则M∩N等于（ ）

A．
B．
C．
D．{
，
}

2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．

为非零向量，“函数
为偶函数”

是“
”的( )

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 执行如图所示的程序框图，若输出
的值为23，则输入

的
值为（ ）

A．
B．1 C．
D．11

5．如果存在正整数
和实数
使得函数
（
，
为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么
的 值为 （ ）

A．
B．
C． 3 D. 4

6. 已知椭圆
的焦点为
，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得
的点M的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
当
时，则
的最小值为( )．

A．
B．
C．
D．无最小值

8.设点
，
，如果直线
与线段
有一个公共点，那么
有（ ）

A．最小值为
B．最小值为
C．最大值为
D．最大值为

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知曲线
的参数方程为
（
为参数），则曲线上
的点到直线
的距离的最大值为 ．

10. 设
是等比数列
的前
项之和，
、
、
成等差数列，且
，则
的值为 ．

11．某展室有9个展台，现有
件展品需要展出，要求每件展品独自占用
个展台，并且
件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求
件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.

12．如图，已知圆
的半径为
，从圆
外一点
引切线
和割线
，圆心
到
的距离为
，
，则切线
的长为 ．

13. 如右图，在三角形
中，
，
分别为
，
的中

点，
为
上的点，且
. 若
，

则实数
，实数
.

14. （立体几何）正三棱锥
的底面边长为
，侧棱的长为
，过
点做与侧棱
、
分别交予
、
，那么
周长的最小值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设函数
，当
取最大值
时，判断△ABC的形状．

16．（本小题满分13分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为

次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A

8

12

40

32[来源:学科网ZXXK]

8



元件B

7

18

40

29

6



 （Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；

（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
AD=1，CD=
．

（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；

（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

18．（本小题满分13分）

已知
为函数
图象上一点，
为坐标原点，记直线
的斜率
．

(Ⅰ)若函数
在区间

上存在极值，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果对任意的
，
，有
，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ) 设点
是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值；

（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作
，设
交
于点
，

证明:当点
在椭圆上移动时，点
在某定直线上.

20．（本小题满分13分）

已知数列
满足（i）
,(ii)存在常数
(
与
无关)，使得
恒成立，则称数列
是和谐数列.

已知各项均为正数的等比数列
，
为其前
项和；且
，
，求证：数列
是和谐数列

已知各项均为正数、公比为
的等比数列
,
为其前
项和，求证：
是和谐数列的充要条件为：

参考答案及评分标准（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．A 3．C 4．C

5．B 6．B 7．B 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10． 8

11．
，
12．

13． 2、1 14．11 (提示：把几何体展开时A/E/F三点共线周长最短)

注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，

由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=
．

(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)………3分

∵ 0

∴
．……………5分

（Ⅱ）

…………………7分

， ……………………9分

∵
∴

∴
（没讨论，扣1分） ………………10分

∴当
，即
时，
有最大值是
． …………………11分

又∵
， ∴

∴△ABC为等边三角形．……………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由题可知 元件A为正品的概率为
，元件B为正品的概率为
。…………3分

（Ⅱ）

（i）设生产的5件元件中正品件数为
，则有次品5
件，由题意知
得到
，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件
，则
。……………………………7分

（ii）随机变量
的所有取值为150,90,30，-30，

则
，
，
，

，

所以
的分布列为：

150

90

30

-30















…………………11分

…………………………13分

17．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分

∵BC∥AD且BC=
AD，即BC
AQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M在是棱PC的中点，

∴ MN // PA ……………………2分

∵ MN
平面MQB，PA
平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， 又∵ BQ在平面ABCD内……………………7分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分

∵BQ
平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点

∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． ……………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．……………………8分

∵ AD
平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．



则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．………11分

设
，

则
，
，

∵
，

∴
， ∴
……………………12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°，
，

∴
． ……………………14分

18.（本小题满分13分）

解：（1）由题意
，
，所以
………2分

当
时，
；当
时，
．所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值． ……………………3分

因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，所以
，得
．即实数
的取值范围是
． ……………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
在
上单调递减，不妨设
，则

函数
在
上单调递减。……………8分

由
，则
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，所以，故
.………………13分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）解(Ⅰ)由题意得
，又
，…………………2分

消去
可得，
，解得
或
（舍去），则
，

求椭圆
的方程为
．……………………4分

(Ⅱ)设直线
方程为
，并设点
，

由
.

，………………………6分

，当
时
，直线与椭圆相交，所以
，
，

由
得
，
，…………………8分

，整理得：
.而
,代入
中得 [来源:学科

为定值. ……………………10分

（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分）

（III）
的斜率为：
，又由

,

从而得直线
的方程为：
,联立方程
,

消去
得方程
，因为
， 所以
，

即点
在直线
上. ………………………14分

20．（本小题满分13分）

（1）设等比数列
的公比是
，则
，且
，解得

………………3分

又
即存在常数
，使得
恒成立。……………………7分

（2）充分性：已知等比数列
，且
，则

令
，则

是和谐数列………………………9分

必要性：已知等比数列
，各项均为正数，
是其前
项和，
是和谐数列

下面反证法证明：
………………………10分

若
，则
，
不存在
使
对于
恒成立；……………11分

若
，则
，对于给定的正数

令
,
，

即当
时，总有

即即存在常数
，使得
对于
恒成立……………13分

综上所述：
是和谐数列的充要条件为：