2014年北京市高考模拟试卷（预测）

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A =
, B =
，则A
B等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
，则( )

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则函数
的大致图像为( )

（B） （C） （D）

4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 命题“
，
”的否定为（ ）

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

6. 记集合
和集合
表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

（A）直角三角形 （B）等腰三角 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形

8. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．抛物线
上一点
与该抛物线的焦点
的距离
，则点
的横坐标
= .

10．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为
，
，
则它们的大小关系为 ．（用“
”连接）

11．已知等差数列
的前n项和为
= ．

12．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．

13．设不等式组
在直角坐标系中所表示的区域的面积为
，则当
时，
的最小值为 ．

14．在平面直角坐标系
中，若直线
与曲线
有四个公共点，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求函数
的最小值及取得最小值时的x值．

16．（本小题满分13分）

某学校餐厅新推出
四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意

一般

不满意



A套餐

50%

25%

25%



B套餐

80%

0

20%



C套餐

50%

50%

0



D套餐

40%

20%

40%





（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中

的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

17．（本小题满分14分）

如图，菱形
的边长为
，
,
.将菱形
沿对角线
折起，得到三棱锥
,点
是棱
的中点，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

18．（本小题满分13分）

已知
，

求
在
处的切线方程；

若
使得
成立，求实数
的取值范围，

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)设直线
与椭圆
相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论.

20．（本小题满分13分）

已知数列
满足
，

求数列
的通项公式；

对任意
，若将
按从小到大的顺顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为
.

求
的值以及数列
的通项公式；

记数列
的前
项和为
，问是否存在正整数
，使得
恒成立，若存在求出
的最大值；若不存在说明理由.

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．A 3．C 4． D

5．D 6．A 7． D 8． C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵

， ………………5分

∴
． ………7分

（Ⅱ）∵
∴
．

∴
． …………9分

∴
，即
． ………11分

∴
此时
∴
． ………12分

∴当
时，
． ………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人， ……………1分

其中选A款套餐的学生为40人， ……………2分

由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了
份. ……………4分

设事件
=“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分

则
. ……………6分

答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是
.

(II) 由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分

记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d. ……………8分

设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐” …………9分

从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分

而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， …… …11分

则
. …… …13分

答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是
.

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
. ……………2分

因为
平面
,
平面
，

所以
平面
. ……………4分

（Ⅱ）证明：由题意，
,

因为
,所以
，
. ……………6分

又因为菱形
，所以
. …………7分

因为
,

所以
平面
， ……………8分

因为
平面
，

所以平面
平面
. ……………9分

（Ⅲ）解：三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积. ……………10分

由（Ⅱ）知，
平面
，

所以
为三棱锥
的高. ……………12分

的面积为
， ……………13分

所求体积等于
. ……………14分

18.（本小题满分13分）

（1）
, …………………（1分）

, …………………（2分）

故切线方程为
； …………………（4分）

（2）
，

， …………………（6分）

若
，即
，则
，

则
在
上单调递增，又
，不符舍去． …………………（8分）

②若
,则
,，

令
得
,

令
得
,

则
在
上单调递减,在
单调递增,

…………………（10分）

又
，则必有
， …………………（11分）

即
，
． …………………（12分）

19．（本小题满分14分）

解(Ⅰ)由已知得,由题意得
，又
，………………………2分

消去
可得，
，解得
或
（舍去），则
，

所以椭圆
的方程为
．……………………………………………………5分

(Ⅱ)结论：直线
与圆
相切.

证明:由题意可知,直线
不过坐标原点,设
的坐标分别为

(ⅰ)当直线
轴时,直线
的方程为
且

则

解得
，故直线
的方程为
，

因此,点
到直线
的距离为
，又圆
的圆心为
,

半径
所以直线
与圆
相切 …8分

(ⅱ)当直线
不垂直于
轴时,

设直线
的方程为
，联立直线和椭圆方程消去
得；

得
，

，故
，

即
① ………………………………………11分

又圆
的圆心为
,半径
，

圆心
到直线
的距离为
，

②

将①式带入②式得：
， 所以
因此,直线
与圆
相切 ………………14分

20．（本小题满分13分）

解：（1）

当
时，有
，
……………………2分

所以数列
从第二项起是公比为
的等比数列；

当
时，
，而
，可得

所以
……………………4分

（2）

i．由（1）知

若
为等差中项则
，解得：

若
为等差中项则
，解得：

若
为等差中项则
，解得：

综上所述
或者
…………………6分

当
时，
，注意到
与
异号，

…………………7分

当
时，
注意到
与
同号，

…………………8分

综上所述：当
时
；当
时
…………………9分

ii当
时

,则由
，得
，当
时
，
这时不存在符合题意的最大正整数
；…………………10分

当
时

则由
，得

，
时，满足
恒成立，当
时，存在
，使得
即
，所以当
时
不恒成立…………………12分

综上所述：当
时存在满足题意的最大正整数
………………13分