2013—2014学年奉贤区调研测试

高三数学试卷(理科) 2014.4

（考试时间：120分钟，满分150分）

（本卷可能用到的公式
）

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)

1、函数
的反函数为________.

2、设
（
，是虚数单位），满足
，则
________.

3、如果函数
的图像过点
，
________.

4、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________.

5、若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和轴相切，则该圆的标准方程是________.

6、在
的二项展开式中，按的降幂排列，只有第
项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.

7、若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为________.

8、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法.

9、极坐标系中，极点到直线
（其中
、为常数）的距离是________.

10、已知函数
， 则方程
的解是________.

11、已知抛物线
焦点恰好是双曲线
的右焦点，且双曲线过点
，则该双曲线的渐近线方程为________.

12、定义在
上的函数
满足：①当
时，
②

，设关于的函数
的零点从小到大依次记为
，则
________.

13、从1，2，3，
，
，这个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为
，

则
________.

14、以
间的整数
为分子，以为分母组成分数集合
，其所有元素和为
；以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于集合
的分数集合
，其所有元素和为
；……，依次类推以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于
的分数集合
，其所有元素和为
；则
=________.

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、已知长方体
，下列向量的数量积一定不为的是 （ ）

A．

B．

C．

D．

16、设数列
，以下说法正确的是（ ）

A．若
，
，则
为等比数列

B．若
，
，则
为等比数列

C．若
，
，则
为等比数列

D．若
，
，则
为等比数列

17、下列命题正确的是( )

A．若
,则
B．若
则

C．若
,则
D．若
,则

18、已知
,且设
，设
，则是的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、如图，在直三棱柱
中，
，

．若为
的中点，求直线
与平面
所成的角.

20、已知函数
，
，
．

（1）若
，试判断并用定义证明函数
的单调性；

（2）当
时，求证函数
存在反函数．

21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角（从正北方向顺时针转到
方向所成的角）是
，距离是3km；从到
，方位角是110°，距离是3km；从
到，方位角是140°，距离是（
）km.

试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.

22、如图，已知平面内一动点到两个定点
、
的距离之和为，线段
的长为

.

（1）求动点的轨迹；

（2）当
时，过点
作直线与轨迹交于、
两点，且点在线段
的上方，线段
的垂直平分线为

①求
的面积的最大值；

②轨迹上是否存在除、
外的两点
、关于直线对称，请说明理由.

23、若函数
满足：集合
中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数
是等比源函数.

（1）判断下列函数：①
；②
中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：对任意的正奇数
，函数
不是等比源函数；

（3）证明：任意的
，函数
都是等比源函数.

2013—2014学年奉贤区调研测试

高三数学试卷(理科)

参考答案 2014.4

一、填空题（每小题4分，共56分）

1.（理）

2.





3.

4.

5.



6.

7.





8.

9.





10.(理)，

11.（理）

12.(理)
，



13.（理）

14.







二、选择题（每小题5分，共20分）

15.（理）D

16. C

17. D

18. A





三、解答题

19、（理）

【解】方法一：如图1以
为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，

所在直线为轴建系，则
，则
2分；

设平面A1BC1的一个法向量
，
则
，

则
，取
，则
6分

设AD与平面A1BC1所成的角为
，

则
=
10分

则
,∴AD与平面A1BC1所成的角为
12分

方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．

从而得 AB1⊥平面A1BC1． 4分

设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，

于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角． 6分

在直角△AOG中，AG＝
AD＝
AB1＝
AB， AO＝
AB，

所以sin∠AGO＝
＝
． 10分

故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°． 12分

20、【解】 (1)判断：若
，函数
在
上是增函数.

证明：当
时，
，

在
上是增函数. 2分

在区间
上任取
，设
，

所以
，即
在
上是增函数. 6分

(2) （理）因为
，所以
8分

当
时，
在
上是增函数， 9分

证明：当
时，
在
上是增函数（过程略） 11分

在在
上也是增函数

当
时，

上是增函数 12分

所以任意一个
，均能找到唯一的和它对应，

所以


时，
存在反函数 14分

(2) （文）因为
，所以
8分

当
时，
在
上是增函数， 9分

证明：当
时，
在
上是增函数（过程略） 11分

在在
上也是增函数

当
时，
在
上是增函数 12分

证明：当
时，
在
上是增函数（过程略） 13分

所以当
时，
取得最大值为
； 14分

21、【解】示意图，如图所示， 4分

连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,

又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°

由余弦定理可得
7分

在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3
+9.

由余弦定理得AD=

=
=
(km). 10分

由正弦定理得sin∠CAD=
12分

∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分

所以，从A到D的方位角是125°，距离为
km. 14分

22、（理）

【解】（1）当
即
时，轨迹是以
、
为焦点的椭圆 3分

当
时，轨迹是线段
4分

当
时，轨迹不存在 5分

（2）以线段
的中点为坐标原点，以
所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为
7分

①解法1：设
表示点到线段
的距离

， 8分

要使
的面积有最大值，只要
有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为