赣州市2014年高三适应性考试参考答案

及评分标准 （理科数学）

一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

A

C

D

A

D

D

B



7. 解：由最小的两个编号为
可知，抽样间距为
，故抽样比例为
，即抽取10名幸运顾客，其编号构成首项为
，公差为
的等差数列，故抽取的幸运顾客中最大编号应该是
.

8.解：
，

9.解：因为双曲线的离心率
，得
，则双曲线方程为

，设
，因为直线
的斜率不为零，则可设其方程为
，与双曲线方程联立得
，

从而有
，
，则

，故选D.

10.解：过
作
底面
于
,连接
，知
即为

三棱锥
的高，设线段
的长度为，则
，

则四面体
的体积


，

所以选B.

二、选做题（共2小题，任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.）

11.（1）（坐标系与参数方程选做题）C； （2）（不等式选做题）D

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

12. 13.
14.
15.

15.解：设
的中点为
，连接
、
，设
，

则
，

所以

梯形的高为
，所以梯形的面积

，令
，得
，即
，所以
在
上递增，在
上递减，故当
时，
有最大值，此时
，从而
，

所以
，故椭圆的离心率为

四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

16.解：（1）由

可得
……………………………………………………………1分

即
，得
…………………………………………2分

于是

……………………………………………………………3分

又
，∴
………………………………………………………………………5分

（2）∵
，∴为钝角或直角…………………………………………………6分

于是
，又
，∴
…………………………………………………7分

由正弦定理可知，
……………………………………………………8分

所以

…………………………………………………………9分

……………………………………………10分

又
，
……………………………………………………………11分

∴

…………………………………………………………………12分

17.解：(1)由频率分布直方图可知：

血液酒精浓度在
内范围内有：
人……………………………1分

血液酒精浓度在
内范围内有：
人………………………………2分

设 “最多有1人属于醉酒驾车”为事件，则
＝
…………5分

(2)
的可能取值为
…………………………………………………………………6分

得
，
…………………………………………8分

，
……………………………………………10分

所以
得分布列为

0

1

2

3

















…………………………………………11分

所以
的期望值

………………………………………………12分

18．（1）证法一：因为平面
底面
，
，

所以
底面
………………………………………………………………………1分

所以
…………………………………………………………………………………2分

在
中，由
，
，
，得
，又
，

则
平行且等于
，所以四边形
是平行四边形………………………………3分

,又
,

所以
，即
………………………………………………………4分

又
，所以
平面
，而
平面
，

所以平面
平面
…………………………………………………………………5分

证法二：因为侧面
底面
，
，

所以
底面
………………………………………………………………………1分

又
，
，得
…………………………2分

可得
，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，
，
，
……………………………………………3分

所以

所以
，所以
…………………………………………………………4分

由
底面
，可得
,

所以
平面
, 又
平面
，

∴平面
平面
……………………………………………………………………5分

(2)因为
，又
，设

则
………………………………6分

所以
，
……………………7分

设平面
的法向量为
，

因为
，由
，
，

得
…………………………………………………………………………8分

令
，则可得平面
的一个法向量为
……………………………9分

所以
……………………………………………10分

解得
或
………………………………………………………………………11分

又由题意知
，故
……………………………………………………………12分

19.（1）解法一：在
中，取
，得
，又

故
………………………………………………………………………………………1分

同样取
，可得
…………………………………………………………………2分

猜想
，下面用数学归纳法证明

（1）当
时，
猜想显然成立……………………………………………………3分

（2）设当
时猜想成立，即

则当
时，因为
，所以
，

，即对
时猜想成立………4分

根据（1）（2），可知猜想对任意正整数都成立…………………………………………5分

解法二：在
中，取
，得
，又

故
………………………………………………………………………………………1分

同样取
，可得
……………………………………………………………………2分

由
及
，两式相减，可得
………………3分

所以数列
的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而
，

故
是公差为的等差数列，所以
…………………………………………5分

（2）在
中，令
，得

由
与
，

两式相减可得
…………6分

化简得
，即当
时，

经检验
也符合该式，所以
的通项公式为
…………………………7分

所以

两式相减，得
……………………8分

利用等比数列求和公式并化简，得
………………………………………9分

可见，对任意
，经计算，
………10分

数列
的各项为正，
，故
单调递增………………………11分

所以，满足
的正整数的集合为
…………………………12分

20.解：（1）设点
为所求轨迹上的任意一点，则由抛物线的定义知，得点的轨迹为是以
为焦点，以
为准线的抛物线…………………………………………3分

所以轨迹
的方程为
…………………………………………………………………5分

（2）方法一：设

由
，可知直线
∥
，

则
，故
，即
………………………………………6分

由
三点共线，可知
与
共线，

所以
，由（1）可知