2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷

数学(文科)参考答案及评分标准

即
，所以
，因为
，所以
，……………4分

所以等比数列
的通项公式为
；………………………………………………6分

（2）
，………………………………………………………9分

．………………………………………………………12分

18．解（1）连接
，设
，

由
是正方形，
，得
是
的中点，且
，从而有
，

所以
平面
，从而平面
平面
，……2分

过点
作
垂直
且与
相交于点
，

则
平面
………………3分

因为正方形
的边长为
，
，

得到：
，所以
，

所以

所以五棱锥
的体积
；………………6分

（2）线段
上存在点
，使得
平面
，
．……………7分

证明：

，
，

所以
，所以
平面
，……………………………………………9分

又
，所以
平面
，…………………………………………………10分

所以平面
平面
， …………………………………………………………11分

由
在平面
内，所以
平面
.……………………………………12分

19．解：（1）由
，得点
在射线
上，
，

，即
；……………………………5分

（2）设
，则
，因为
的面积等于△
与△
面积的和，所以
，

得：
，………………………………………………………7分

又
,所以
,即
，

所以△
的面积

即
………………………10分

（其中：
为锐角），

所以当
时，△
的面积最大，最大值是
．………………12分

20．解：（1）因为离心率为
，所以
，

所以椭圆方程可化为：
，直线
的方程为
，………………2分

由方程组
，得：
,即
,…4分

设
，则
，………………………………………5分

又
，

所以
，所以
，椭圆方程是
；………………7分

（2）由椭圆的对称性，可以设
，点在轴上，设点
，

则圆的方程为
，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是
，

设点
是椭圆
上任意一点，则
,…9分

当
时，
最小，所以
①……………………………………10分

又圆过点，所以
②……………………………………11分

点
在椭圆上，所以
③ ……………………………………………………12分

由①②③解得：
或
，又
时，
，不合，

综上：椭圆
存在符合条件的内切圆，点的坐标是
．……………………13分

21.解：（1）
时，
，则
，……………………2分

当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减；…………………3分

当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增；……………… 4分

当
时，存在
，使得
，即
，

时，
，函数
在区间
上单调递增， ……………………5分

时，
，函数
在区间
上单调递减. ……………………6分

（2）
时，
，猜测
恒成立，……………7分

证明：
等价于
，记
，则

，……………………………10分

当
，即
时，
，
在区间
上单调递减，……………12分

所以当
时，
，即
恒成立；……………………………14分