一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
,集合
,则
=（　　）

A． B．{1} C．{-1} D．{-1,1}

2．函数
的零点一定位于下列哪个区间（　　）

A．
B．
C．
D．

3．在
中,内角
所对边的长分别为

则角的大小为（　　）

A．
B．
C．
D．

4．已知为虚数单位，为实数，复数
在复平面内对应的点为
，则“
”是“点
在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知数列
为等比数列,且
,设等差数列
的前项和为
,若
,则
=（ ）

A．36 B．32 C．24 D．22

6．下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中
为三个评阅人对该题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于 （ ）



A．11 B．10 C．8 D．7

7．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为
和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为
.假设甲、乙两人射击互不影响，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图,
是圆的直径,
是圆上的点,

则
的值为（　）

A．
B．
C．
D．

9. 若双曲线
的左、右顶点分别为
点是第一象限内双曲线上的点.若直线
的倾斜角分别为
且
那么的值是（　　）

A．
B．
C．
D．

10．红星小学建立了一个以5米为半径的圆形操场，操场边有一根高为10米的旗杆（如图所示），小明从操场的A点出发，按逆时针方向绕着操场跑一周，设小明与旗杆的顶部C点的距离为，小明所跑过的路程为，则下列图中表示距离关于路程的函数图像的是（ ）

二、选做题（考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分，共5分）

11．（1）已知曲线的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为的轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（t为参数），则直线
与曲线相交所截的弦长为（ ）．

A．
B．
C．
D．

（2）对任意
，且
，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）．

A．
B．
C．
D．

三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应横线上.

12.计算定积分
______．

13．如图，四面体
的体积为
，满足∠ACB＝450，AC＝
，

AD+BC＝2，则CD＝______．

14.等差数列
的前项和为
，已知

则
等于______．

15. 已知函数
的定义域为
,部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示. 下列关于
的命题：①函数
的极大值点为
；②函数
在
上是减函数;③如果当
时,
的最大值是,那么的最大值为；④当
时,函数
有个零点；⑤函数
的零点个数可能为
个.其中正确命题的序号是 ．

























四、解答题：本大题共6小题，计75分.

16．（本小题满分12分）已知数列
的前项和为
，且

.

（1）若数列
为等比数列,求的值；

（2）若
,数列
前项和为
,当且仅当
时
取最小值,求实数的取值范围.

17．（本小题满分12分）已知向量
记
.

(1)若
,求
的值；(2)在
中,角A、B、C的对边分别是、
、,且满足
,若
,试判断
的形状.

19．（本小题满分12分）如图,在斜三棱柱
中,侧面
⊥底面
,侧棱
与底面
成60°的角,
.底面
是边长为2的正三角形,其重心为
点,是线段
上一点,且
.

(1)求证:
//侧面
；(2)求平面
与底面
所成锐二面角的正切值；

(3)在直线
上是否存在点T,使得
?若存在,指出点T的位置;若不存在,说明理由.

20．（本小题满分13分）设点为圆
上的动点，过点作轴的垂线，垂足为
．动点
满足
（其中，
不重合）．（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；（Ⅱ）过直线
上的动点作圆
的两条切线，设切点分别为
．若直线
与（Ⅰ）中的曲线
交于
两点，求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知函数
.

(1) 若函数
区间
上存在极值点,求实数a的取值范围；

(2) 当
时,不等式
恒成立,求实数k的取值范围；

(3)求证:

,e为自然对数的底数,e = 2.71828).

答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





B

B

D

A

A

C

C

A

D

A



8.
设
,建立如图所示坐标系,则

,故
.

9.∵双曲线的方程为
,∴双曲线的左顶点为
,右顶点为
.设
,得直线
的斜率
,直线
的斜率
,∴
①.∵
是双曲线
上的点,得
,代人①式得
.∵直线
的倾斜角分别为
,所以
,∴
.∵是第一象限内双曲线上的点,易知
均为锐角,∴
,解得
.故选D．

11、(1) B (2) D 12、
13、2011 14、
15、①②⑤

16、解：（1）


, ∵数列
为等比数列,

………（6分）

（2）
,

∵
成等比数列,
, ∴数列
是等差数列.

∵数列
前项和为
,
时
取最小值,

可得
,
………（12分）

17、解：

(1) 由已知
得
,于是
,

∴
………（6分）

(2) 根据正弦定理知:

19、解：解:(1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图, 则

,
,
,
,
,
.

∵G为△ABC的重心,∴
.
,∴
,

∴
. 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. ………（6分）

(2)设平面B1GE的法向量为
,则由
得
可取
又底面ABC的一个法向量为
，设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
,则
. 由于
为锐角,所以
,进而
. 故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
.

(3)
,设
,
,

由
,
,解得

所以存在T在AG延长线上,
. ………（12分）

20、解：(1)设点
，由
，得
，由于点在
上，所以
即
的轨迹方程是
----------5分

(2) 设点
，则
的方程为：
，又点
在
上，则有：
得
得方程为：
，

设点
，则圆心到
得距离为
，

又由
，得
，于是

所以
于是

令
，则
，所以
，所以
得范围为

21、解: (1)函数f (x)定义域为(0,+∞),
由
得:x = 1,当0 < x <1时,
,当x > 1时,
,

∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 函数f (x)在x = 1处取得唯一的极值

由题意得
,故所求实数a的取值范围为

(2)解: 当x≥1时,不等式
化为:
,即

令
,由题意,k≤g (x)在[1,+∞)恒成立

令
,则
,当且仅当x = 1时取等号 所以
在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1) = 1 > 0 因此
,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增,
因此,k≤2,即实数k的取值范围为(-∞,2]

(3) 由(2)知,当x≥1时,不等式
恒成立, 即
,整理得:

令x = k(k + 1),k∈N*,则有

分别令k = 1,2,3,,n,则有
,,

将这n个不等式左右两边分别相加,得

故
,从而