2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷

数学(理科)参考答案及评分标准

17．解：甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为
，…3分

乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为
……………6分

（1）新工人乙生产三件产品A，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：
………………………………………8分

（2））随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．

，
，

，
，

，
　　　

所以，随机变量
的概率分布为:

100

80

60

40

20

-20



















随机变量X的数学期望
（元）…12分

18．解（1）连接
，设
，由
是正方形，
，

得
是
的中点，且
，从而有
，

所以
平面
，从而平面
平面
，……………2分

过点
作
垂直
且与
相交于点
，

则
平面
………………………………4分

因为正方形
的边长为
，
，

得到：
，

所以
，

所以

所以五棱锥
的体积
；……………6分

（2）由（1）知道
平面
，且
，即点
是
的交点，

如图以点
为原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，
………………………7分

设平面
的法向量为
，则

，

，

令
，则
，………………………9分

设平面
的法向量
，则
，

，

令
，则
，即
， ………………………………11分

所以
，即平面
与平面
夹角
.………………………12分

19．解：（1）由
得点
在射线
上，
，

因为
的面积等于△
与△
面积的和，

所以
，得：
，……3分

又
，所以
，即
，

，即
；………………………………6分

（2）设
，则
，因为
的面积等于△
与△
面积的和，所以
，

得：
，………………………………………………………7分

又
,所以
,即
，

所以△
的面积

即
………………………10分

（其中：
为锐角），

所以当
时，△
的面积最大，最大值是
．………………12分

20．解：（1）因为离心率为
，所以
，

所以椭圆方程可化为：
，直线
的方程为
，………………2分

由方程组
，得：
,即
,…4分

设
，则
，………………………………………5分

又
，

所以
，所以
，椭圆方程是
；………………7分

（2）由椭圆的对称性，可以设
，点在轴上，设点
，

则圆的方程为
，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是
，

设点
是椭圆
上任意一点，则
,…9分

当
时，
最小，所以
①……………………………………10分

又圆过点，所以
②……………………………………11分

点
在椭圆上，所以
③ ……………………………………………………12分

由①②③解得：
或
，又
时，
，不合，

综上：椭圆
存在符合条件的内切圆，点的坐标是
．……………………13分

21．解：（1）
时，
，则
，…………………1分

当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减；…………………2分

当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增；………………3分

当
时，存在
，使得
，即
，…………………4分

时，
，函数
在区间
上单调递增，……………………5分

时，
，函数
在区间
上单调递减. ……………………6分

（2）
时，
，

恒成立，等价于
，……………………………………………7分

记
，则
，………8分

当
，即
时，
，
在区间
上单调递减，

所以当
时，
，即
恒成立；………………………10分

当
，即
时，记
，则
，

存在
，使得
,

此时
时，
，
单调递增，
，即
，

所以
，即
，不合题意；…………………………12分

当
时，
，不合题意；……………………………………13分

综上，实数的取值范围是
…………………………………………………14分