广东省肇庆市2014届高三4月第二次模拟

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

列联表随机变量
.
与k对应值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
是纯虚数（是虚数单位），则实数

A．
B．3 C．1 D．1或

2．已知集合
，若
，则实数

A．2 B．
C．
D．

3．图1分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等；

B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙；

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙；

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

4．若如图2所示的程序框图输出的S是
，

则在判断框中M表示的“条件”应该是

A．
B．

C．
D．

5．已知向量
，则“
且
”

是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图3所示，

则该几何体的体积是

A．

B．30

C．40
D．42

7．已知实数
，函数
，

若
，则的值为

A．
B．
C．
D．

8．设有一组圆
：
. 下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点.

其中真命题的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．已知等比数列
满足
，则
▲ .

10．不等式
的解集为 ▲ .

11．若双曲线
的渐近线方程是
，则双曲线的离心率等于 ▲ .

12．在
的展开式中，
的系数为 ▲ .

13．直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点
满足
，则点
构成的区域的面积等于 ▲ .

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）已知C的参数方程为
(为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ▲ .

15.（几何证明选讲选做题）如图4，在
中，AB=BC，

圆O是
的外接圆，过点C的切线交AB的延长线

于点D， BD=4，
，则AC的长等于 ▲ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知锐角△ABC的面积等于
，且AB=3，AC=4.

（1）求
的值；

（2）求
的值.

17.（本小题满分12分）

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下
列联表：

喜欢数学课

不喜欢数学课

合计



男

30

60

90



女

20

90

110



合计

50

150

200



（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？

（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？

（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为
，求
的数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图5，在四棱锥
中，底面ABCD是边长为

2的菱形，且(DAB=60(. 侧面PAD为正三角形，其所在的平

面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.

（1）求证：BG(平面PAD；

（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的

余弦值；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，

使平面DEF(平面ABCD，并证明你的结论.

19.（本小题满分14分）

如图6，圆
，P是圆C上的任意

一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半

径CP交于点Q.

（1）求点Q的轨迹G的方程；

（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为

BD的中点. ①若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的

直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹

G的中心. 求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.

20.（本小题满分14分）

已知正项数列
满足
（
）.

（1）证明：
；

（2）证明：
；

（3）证明：
.

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若a=1，判断函数
是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）求函数
的单调区间；

（3）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数a的取值范围．

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

C

A

D

C

B



8题解析：圆
的圆心（k-1，3k）在直线y=3（x+1）上运动，因此存在定直线y=3（x+1）与所有的圆均相交；因圆
的半径
在变化，故①③错，②正确.

对于④：假设存在某个圆经过原点，则
（*），下面转化为这个关于k的方程是否有正整数解，可以从k的奇偶性分析：

①若k为奇数，则k-1为偶数，3k为奇数，于是
为偶数，
为奇数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！

②若k为偶数，则k-1为奇数，3k为偶数，于是
为奇数，
为偶数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！

综上知，假设不成立，故④正确.

二、填空题

9．
10．[-3，1] 11．
12．

13．4 14．
15．

13题解析：由
，得

设M（s，t），则
，解得
，由
，得
.

三、解答题

16.（本小题满分12分）

解：（1）∵
， （2分）

∴
. （3分）

又△ABC是锐角三角形，∴
， （4分）

∴
. （5分）

（2）由余弦定理
（7分）

∴
（8分）

由正弦定理得
， （9分）

又B为锐角，得
. （10分）

∴
（11分）

（12分）

17.（本小题满分12分）

解：（1）∵
， （2分）

∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分）

（2）男生抽取的人数有：
（人） （5分）

女生抽取的人数各有：
（人） （6分）

（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，

所以
的取值为1，2，3. （7分）

，
，
，

所以
的分布列为：

1

2

3













（10分）

所以
的数学期望为
（12分）

18.（本小题满分14分）

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以(ABD为正三角形. （1分）

又G为AD的中点，所以BG⊥AD. （2分）

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， （3分）

∴BG⊥平面PAD. （4分）

解：（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

∵PG(平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直. （5分）

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系
，

，

， （6分）

所以
，
，
，
，

（7分）

设平面PCD的法向量为
， 即

令
，则
（8分）

又平面PBG的法向量可为
， （9分）

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为
，则

∴

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为
. （10分）

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. （11分）

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG. （12分）

由（2），得PG(平面ABCD，所以FH(平面ABCD. （13分）

又FH(平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD. （14分）

19.（本小题满分14分）

解：（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，
. （1分）

连结
，由已知得
， （2分）

所以
. （3分）

根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于
的椭圆，

即a=3，c=2，
， （4分）

所以，点Q的轨迹G的方程为
. （5分）

（2）①设B、D的坐标分别为
、
，

则
（6分）

两式相减，得
， （7分）

当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有
， （8分）

所以
，即
. （9分）

故BD所在的直线方程为
，即
. （10分）

②证明：设
，且
，

由①可知
, （11分）

又
（12分）

所以
（定值）. （14分）

20.（本小题满分14分）

证明：（1）

方法一：因为
，所以
， （1分）

故
，当且仅当
时，等号成立. （2分）

方法二：

因为
，所以
， （1分）

故
，当且仅当
时，等号成立. （2分）

（2）由（1）知
，又
，

所以
，所以
. （4分）

（3）先证：

当n=1时，不等式显然成立； （5分）

假设当n=k（
）时不等式成立，即
. （6分）

当n=k+1时，由
得
， （7分）

即当n=k+1时，不等式成立； （8分）

综上，对一切
都有
成立. （9分）

再证：

由
及
（
），得
（
），

所以当n=1时，不等式显然成立； （10分）

当
时，假设存在k，使得
， （11分）

则有
，即
，

所以
，
，┅，
，
， （12分）

与题设
矛盾. （13分）

所以对一切
都有
成立. （14分）

所以对一切
都有
成立.

21.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
，其定义域为（0，+(）.

因为
， （1分）

所以
在（0，+(）上单调递增， （2分）

所以函数
不存在极值. （3分）

（2）函数
的定义域为
．

当
时，

因为
在（0，+(）上恒成立，所以
在（0，+(）上单调递减. （4分）

当
时，

当
时，方程
与方程
有相同的实根. （5分）

①当
时，(>0，可得
，
，且

因为
时，
，所以
在
上单调递增； （6分）

因为
时，
，所以
在
上单调递减； （7分）

因为
时，
，所以
在
上单调递增； （8分）

②当
时，
，所以
在（0，+(）上恒成立，故
在（0，+(）上单调递增. （9分）

综上，当
时，
的单调减区间为（0，+(）；当
时，
的单调增区间为
与
；单调减区间为
；当
时，
的单调增区间为（0，+(）. （10分）

（3）由存在一个
，使得
成立，

得
，即
. （11分）

令
，等价于“当
时，
”. （12分）

因为
，且当
时，
，

所以
在
上单调递增， （13分）

故
，因此
. （14分）