广东省肇庆市2014届高三4月第二次模拟

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

列联表随机变量
.
与k对应值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知是虚数单位，是实数，若复数
是纯虚数，则

A．2 B．
C．
D．

2．若函数
的定义域为M={-2，0，2}，值域为N，则M∩N=

A．{-2，0，2} B．{0，2} C．{2} D．{0}

3．已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
，则“
且
”是“a//b”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若如图1所示的程序框图输出的S是62，

则在判断框中M表示的“条件”应该是

A.
B.

C.
D.

6．已知圆锥的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，

则此圆锥的表面积是

A．
B．
C．
D．

7.已知直线l：
，圆
上恰有3个点到直线l的距离都等于1，则b=

A．
B．
C．
D．

8．若函数
（
），则
是

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

9．已知实数
，函数
，若
，则a的值为

A．
B．
C．
D．

10．定义集合运算：A⊙B=｛z| z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为

A．0 B．6 C．12 D．18

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．已知等比数列
满足
，则
▲ .

12．函数
的最小值为 ▲ .

13．设不等式组
所表示的平面区域为D，若直线
与D有公共点，则k的取值范围是 ▲ .

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）已知C的参数方程为
(为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ▲ .

15.（几何证明选讲选做题）如图2，在
中，AB=BC，

圆O是
的外接圆，过点C的切线交AB的延长线

于点D， BD=4，
，则AC的长等于 ▲ ．

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下
列联表：

喜欢数学课

不喜欢数学课

合计



男

30

60

90



女

20

90

110



合计

50

150

200



（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？

（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率.

17．（本小题满分13分）

已知数列
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）数列
满足
，求数列
的前n项和
.

18．（本小题满分13分）

如图3，在四棱锥
中，底面ABCD是边长为2的菱形，且(DAB=60(. 侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.

（1）求证：BG(平面PAD；

（2）求三棱锥G—CDP的体积；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，

使平面DEF(平面ABCD，并证明你的结论.

19．（本小题满分14分）

在(ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
，且a、b、c成等比数列.

（1）求
的值；

（2）若
，求
的值.

20．（本小题满分14分）

已知双曲线C的两个焦点坐标分别为
，双曲线C上一点P到
距离差的绝对值等于2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程.

（3）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若a=1，判断函数
是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）求函数
的单调区间；

（3）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数a的取值范围．

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

D

A

C

D

C

B

A

D





二、填空题

11．
12．
13．[
，
] 14．
15．

三、解答题

16.（本小题满分12分）

解：（1）∵
， （2分）

∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分）

（2）男生抽取的人数有：
（人） （5分）

女生抽取的人数有：
（人） （6分）

（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，则所有基本事件有：


共10种.

（8分）

其中满足条件的基本事件有：


共6种， (10分)

所以，恰有一男一女的概率为
. （12分）

17.（本小题满分13分）

解：（1）设
的公差为
,
的公比为.

由
，得
，从而
， （2分）

因此
，即
. （4分）

由
，得
， （6分）

所以
， （7分）

故
，即
. （8分）

（2）
（9分）

所以
（10分）

两边同乘以2，得
（11分）

两式相减得
（12分）

所以
. （13分）

18.（本小题满分13分）

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以(ABD为正三角形. （1分）

又G为AD的中点，所以BG⊥AD. （2分）

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， （3分）

∴BG⊥平面PAD. （4分）

（2）因为G为正三角形PAD的边AD的中点，所以PG(AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PG⊥平面ABCD. （5分）

因为正三角形PAD的边长为2，所以
. （6分）

在(CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，

所以
. （7分）

故
. （8分）

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. （9分）

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形. （10分）

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG. （11分）

由（2），得PG(平面ABCD，所以FH(平面ABCD. （12分）

又FH(平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD. （13分）

19.（本小题满分14分）

解：（1）由a、b、c成等比数列，得
. （1分）

由正弦定理，得
. （3分）

所以
. （7分）

（2）由
，得
. （8分）

又
，所以
. （9分）

所以
. （10分）

由余弦定理，得
，（13分）

代入数值，得
，解得
. （14分）

20.（本小题满分14分）

解：（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2， （2分）

所以其虚半轴长
， （3分）

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为
. （4分）

（2）设A、B的坐标分别为
、
，则
（5分）

两式相减，得
， （6分）

因为M（2，1）为AB的中点，所以
， （7分）

所以
，即
. （8分）

故AB所在直线l的方程为
，即
. （9分）

（3）由已知，得
，即
， （10分）

所以
，当且仅当
三点共线时取等号.

（11分）

因为
， （12分）

所以
， （13分）

故
的最小值为
. （14分）

21.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
，其定义域为（0，+(）.

因为
， （1分）

所以
在（0，+(）上单调递增， （2分）

所以函数
不存在极值. （3分）

（2）函数
的定义域为
．

当
时，

因为
在（0，+(）上恒成立，所以
在（0，+(）上单调递减. （4分）

当
时，

当
时，方程
与方程
有相同的实根. （5分）

①当
时，(>0，可得
，
，且

因为
时，
，所以
在
上单调递增； （6分）

因为
时，
，所以
在
上单调递减； （7分）

因为
时，
，所以
在
上单调递增； （8分）

②当
时，
，所以
在（0，+(）上恒成立，故
在（0，+(）上单调递增. （9分）

综上，当
时，
的单调减区间为（0，+(）；当
时，
的单调增区间为
与
；单调减区间为
；当
时，
的单调增区间为（0，+(）. （10分）

（3）由存在一个
，使得
成立，

得
，即
. （11分）

令
，等价于“当
时，
”. （12分）

因为
，且当
时，
，

所以
在
上单调递增， （13分）

故
，因此
. （14分）