全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1．设集合
，
，i为虚数单位，
，则M∩N为

A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1]

2．已知
，则函数
的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

3．圆O中，弦PQ满足|PQ|=2，则
=

A．2 B．1 C．
D．4

4．函数
的零点所在区间为

A．（0，
） B．（
，
） C．（
，1） D．（1，2）

5．设
在（
）上单调递增；
，则p是q的

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．以上都不对

6．将正三棱柱截去三个角（如图（1）所示A、B、C分别

是△GHI三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何

体按图（2）所示方向的侧视图（或称左视图）为

A B C D

7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定. 若
为D上的动点，点A的坐标为
，则
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

8．已知函数
，在
时取得极值，则函数
是

A．偶函数且图象关于点（，0）对称 B．偶函数且图象关于点（
，0）对称

C．奇函数且图象关于点（
，0）对称 D．奇函数且图象关于点（，0）对称

9．设平面向量
，
，其中
记“使得
成立的
”为事件A，则事件A发生的概率为

A．
B．
C．
D．

10．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且
. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平

方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造

费用为22千元. 设该容器的建造费用为y千元. 当

该容器建造费用最小时，r的值为

A．
B．1 C．
D．2

二、填空题：本大题 共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11．设函数
的图象与直线
轴所围成的图形的面积称为
在
上的面积，则函数
上的面积为 ．

12．已知
展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大992，则展开式中系数最大的项是第 项．

13．若实数a，b，c，d满足
，
，

则a的最大值为 ．

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为
，即
. 给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.

其中，正确的结论的个数是 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB

的中点P，
，
，则CP= ．

16．已知直线的极坐标方程为
，则极点到这条

直线的距离是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）设函数
.

（1）求
的值域；

（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若
，求a的值.

18．（本题满分12分）数列
中各项为正数，
为其前n项和，对任意
，总有
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在最大正整数p，使得命题“
，
”是真命题？若存在，求出p；若不存在，请说明理由.

19．（本题满分12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”

某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．

（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S的值，并说明S的统计意义；（图乙中数据
与
分别表示图甲中各组的组中值及频率）

（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90
的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90
范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设
为吴、李两位先生被抽中的人数，求
的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率；

20．（本题满分12分）如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线

AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；

（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

21．（本题满分13分）已知椭圆
的离心率
，

且直线
是抛物线
的一条切线.

（1）求椭圆的方程；

（2）点P
为椭圆上一点，直线
，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；

（3）过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线
于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

22．（本题满分14分）定义：若
在
上为增函数，则称
为“k次比增函数”，其中
. 已知
，其中e为自然对数的底数.

（1）若
是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；

（2）当
时，求函数
在
上的最小值；

（3）求证：
.

天门市2014年高三年级四月调研考试

数学试题（理科）参考答案及评分标准

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1．设集合
，
，i为虚数单位，
，则M∩N为

A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1]

2．已知
，则函数
的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

3．A 【解析】：如图甲，设
，圆的半径为r，则
，所以
. 本题也可以

考虑特殊情况：当PQ经过点O时，如图乙，此时

，
．

也可以取PQ中点M，连结OM，则使

4．函数
的零点所在区间为

A．（0，
） B．（
，
） C．（
，1） D．（1，2）

6．将正三棱柱截去三个角（如图（1）所示A、B、C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何体按图（2）所示方向的侧视图（或称左视图）为

A B C D

6．A 【解析】：由正三棱柱的性质得侧面AED⊥底面EFD，

则侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部，故A正确.

7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定. 若
为D上的动点，点A的坐标为
，则
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

9．设平面向量
，
，其中
记“使得
成立的
”为事件A，则事件A发生的概率为

A．
B．
C．
D．

9．C 【解析】：由
得
，即
.由于
，故事件A包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共2个. 又基本事件的总数为16，故所求的概率为
. 故选C.

10．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且
. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为22千元. 设该容器的建造费用

为y千元. 当该容器建造费用最小时，r的值为

A．
B．1 C．
D．2

二、填空题：本大题 共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11．设函数
的图象与直线
轴所围成的图形的面积称为
在
上的面积，则函数
上的面积为 ．

11．
.

12．已知
展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大992，则展开式中系数最大的项的项数是 ．

12．5.

13．若实数a，b，c，d满足
，
，

则a的最大值为 ．

13．2 【解析】：由柯西不等式可得：

，所以由条件可得：
，解得
，a的最大值是2.

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为
，即
. 给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.

其中，正确的结论的个数是 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB

的中点P，
，
，则CP= ．

15．
【解析】：依题意
，由

得
.

16．已知直线的极坐标方程为
，则极点到这条直线的距离是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）设函数
.

（1）求
的值域；

（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若
，求a的值.

17．【解析】：（1）

……………………………3分

因此
的值域为[0，2]. ………………………6分

（2）由
得
，

即
，又因
，故
.…………………9分

解法1：由余弦定理
，得
，

解得
.……………………………12分

解法2：由正弦定理
，得
.……9分

当
时，
，从而
；

当
时，
，又
，从而
.

故a的值为1或2. …… …… …… ……12分

18．（本题满分12分）数列
中各项为正数，
为其前n项和，对任意
，总有
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在最大正整数p，使得命题“
，
”是真命题？若存在，求出p；若不存在，请说明理由.

18．【解析】：（1）由已知
时，
，∴

两式相减，得

∴

又
为正数，∴

.……………………………4分

∴
是公差为1的等差数列.

当
时，
，得
，∴