许昌新乡平顶山2014届高三第三次调研考试

理科数学参考答案

一、选择题：

1-5 CDDBA 6-10CBBBC 11-12 AD

二、 填空题：13、
; 14、160 ; 15、
; 16、12.

三、解答题：

17.解：（Ⅰ）设
的公差为
，则
，

解得
，或
（舍去）.--------3分

所以
.--------5分

（Ⅱ）因为
，最小正周期
，所以

又
，故
，
，
.-----------8分

故

=
.------12分

18. 解:（Ⅰ）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,
, P(B)= q,
.

根据分布列知:
=0时
=0.03, --------3分

所以
，q=0.8. --------6分

（Ⅱ）当
=2时, P1=

=0.75 q (
)×2=1.5 q (
)=0.24

当
=3时, P2 =
=0.01,

当
=4时, P3=
=0.48,

当
=5时, P4=

=0.24

所以随机变量
的分布列为

0

2

 3

 4

 5



 p

0.03

 0.24

 0.01

0.48

0.24



----------------10分

随机变量
的数学期望
--------12分

19（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.

又因为BC?平面FBC， 所以 平面ACFE⊥平面FBC. .............6分

(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(
，0，0)，B(0，1，0)，M(
，0，1)，

∴=(－
，1，0)，=(
，-1，1)，

设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量，由,得

取x=1,则n1=(1,
, -
),∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,

∴cos(==
.

所以平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值
... ......... ..12分

20、解:（Ⅰ）当点A为椭圆短轴端点时
的面试最大.

此时
，离心率
.-------------------------------------5分

（Ⅱ）∵
可设
,

∴椭圆的方程为
.

由
得
.

∵动直线
与椭圆有且只有一个公共点P,

∴
,即
.

整理得
. -------------------------8分

设P
则有
,
,

∴
.

又
,Q
,

若轴上存在一定点
，使得
,

∴
恒成立 .

整理得
,

∴
恒成立,故
，

所求椭圆方程为
.---------------------------------12分

21、解：（Ⅰ）
，

所以
，即
．所以
．……………………………4分（Ⅱ）由（1）知，
，

所以
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立．

令
，

则
，……………………………6分

令

，则
，

所以函数
在
上单调递增．………………8分

因为
，

所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

当
，即
，当
，即
.

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以
．

所以
．故整数的最大值是3．…………12分

22．（Ⅰ）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC

∴OD//AE , 又AE⊥DE,

∴OE⊥OD，又OD为半径 ,

∴DE是的⊙O切线. ………………………5分

（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，

则∠DOH=∠CAB .

.

OD=5，AB=10，OH=2，

.

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7.

又由△AEF∽△DOF 可得
.

. ………………………10分

23、解：（Ⅰ）由
，得

曲线C 的直角坐标方程为
. …………5分

（Ⅱ）将直线
的参数方程代入
，得

设A、B两点对应的参数分别为

则
，
…7分

.

则
的值为16. …………10分

24. 解：（Ⅰ）
，

当

当
.

当

综上所述
.……………………………5分

（Ⅱ）易得
，若
，使
有解，

则只需
，解得
.……………………10分