一、选择题（每小题5分，共50分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1、设集合A＝{x|1

A．(1,4) B．(3,4)

C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)

2、已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的 (　　)．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 (　　)．

A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0

4、已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是 (　　)．

A. B. C. D．(0,2]

5、已知命题p：“任意x∈[1，2]都有x2≥a”．命题q：“存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 (　　)．

A．(－∞，－2] B．(－2，1) C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)

6、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 (　　)．

A．20＋3π 　　 B．24＋3π

C．20＋4π 　　 D．24＋4π

7、过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)．

A．(，5) B．(，) 　C．(1，) D． (5,5)

8、如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0

9、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有(　　)．

A．576种 B．720种 C．864种 D．1 152种

10、给出定义：若
（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作
，在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：①函数
在
上是增函数；②函数
的图象关于直线
对称；③函数
是周期函数，最小正周期为1；④当
时，函数
有两个零点。其中正确命题的序号是（ ）

A. ②③④ B. ②③ C. ①② D. ②④

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷中的横线上）

11、△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为__________

12、若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.

13、在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝________.

14、．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是___________

15、（理）（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）

（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆
（
为参数）上的点到直线
的距离为d，则d的最大值是__________。

（2）（不等式选做题）若不等式|x＋1|-|x－2|≥a在实数集R中有非空真子集解，则a的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

17．（本小题满分12分）已知数列
的前项和为
，点
在直线
上．

（1）求数列
的通项
；

（2）令
，试求数列
的前项和
．

18. （本小题满分12分） 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量

一级

二级

超标



日均值(微克/立方米)

35以下

35～75

75以上



某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

19. （本小题满分12分） 已知直角梯形ABCD与等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝2，E为PB的中点．

(1)求证：直线AE∥平面PCD；

(2)求平面PCD与平面PAB所成角的正弦值．

20、（本小题满分13分）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．

（I）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；

（II）如图②，直线l：：y=k+m与椭圆C上相交于P，G两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

21、（本小题满分14分）

已知函数
，
。

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若存在
，使
，求实数a的取值范围。

答案

一、1-5 B C B A C 2-10 A B A C A

二、11、 12、7 13、an＝ 14、90 15、（1）2 （2）-3<3

三、16、解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx

＝－×－sin 2ωx

＝cos 2ωx－sin 2ωx

＝－sin.

依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝－sin.

当π≤x≤时，≤2x－≤.

所以－≤sin≤1.

所以－1≤f(x)≤.

故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.

17、解：（Ⅰ）因为点
在直线
上，所以
，
，

，化简得
，

所以数列
为等比数列，公比
，由
得
，

故
． ……………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
，

所以

，①

，②

①②得
， ………（8分）

． …………………18．（12分）

18、解　(1)从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝1－＝.

(2)ξ的可能值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝1或E(ξ)＝3×＝1(超几何分布)．

19、(1)证明　如图1取PC的中点F，连接EF、DF.

在△PBC中，PE＝EB，PF＝FC，

所以EF平行且等于BC，

又AD平行且等于BC，

所以EF平行且等于AD，故四边形AEFD为平行四边形，

所以AE∥DF，

又因为AE?面PCD，DF?面PCD，

所以AE∥平面PCD.

(2)解　如图2，取AB的中点O，CD的中点Q，连接OP，OQ.

在△APB中，AP＝PB，OA＝OB，∠APB＝90°，

所以PO⊥AB，且PO＝AB＝1.

在直角梯形ABCD中，AO＝OB，DQ＝QC，

所以OQ∥BC，

又因为BC⊥AB，所以OQ⊥AB，

又因为面APB⊥面ABCD，面APB∩面ABCD＝AB，

所以OQ⊥面PAB.

以O为坐标原点，分别以OP、OB、OQ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则P(1,0,0)，A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0，－1,1)．

故＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,2)．

设面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，

则由，得，

令y＝1，则z＝－2，x＝－3.

故n＝(－3,1，－2)为面PCD的一个法向量．

因为OQ⊥面PAB，所以可取m＝(0,0,1)为面PAB的一个法向量．

故cos〈m，n〉＝＝＝－.

设所求二面角为θ，所以|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝，

所以sin θ＝＝＝.

20、解：（Ⅰ）由a2=2，b2=1，所以c2=a2﹣b2=1，所以c=1，则F1（﹣1，0），F2（1，0）

设M（x0，y0），则MF1的中点为
，

，
．

∵MF1⊥NF2，∴
，即
，

∴
（1）------------4分

又有
（2）

由（1）、（2）解得
或
（舍去）

所以点M 到y轴的距离为
．------------6分

（Ⅱ）设P（x1，y1）Q（x2，y2），

∵OPRQ为平行四边形，∴x1+x2=xR，y1+y2=yR．

∵R点在椭圆上，∴
，即
，

即
，

化简得，
（3）．-----8分

由
，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．------10分

21. （1）解：由已知函数
的定义域均为
，且
。

1分

函数
，

当
且
时，
；当
时，
。

所以函数
的单调减区间是（0，1），
，增区间是
。 3分

（2）因
在
上为减函数，故
在
上恒成立。

所以当
时，
。

又
，

故当
，即
时，
。

所以
，于是
，故a的最小值为
。 6分

（3）命题“若
，使
成立”等价于

“当
时，有
”。

由（2），当
时，
。

问题等价于：“当
时，有
”。 8分

10 当
时，由（Ⅱ），
在
上为减函数，

则
，故
。 10分

20 当
时，由于
在
上为增函数，

故
的值域为
，即

。

（i）若
，即
在
恒成立，故
在
上为增函数，

于是，
，不合题意。 11分

（ii）若
，即
，由
的单调性和值域知，

存在唯一
，使
，且满足： 12分

当
时，
为减函数；当
时，
为增函数；

所以，
。

所以，
，与
矛盾，不合题意。

综上，得
。 14分