第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则S∪T＝（ ）

A．[－1，6] 　　　　　　B．(3，5]

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) 　　D．(－∞，3]∪(5，＋∞)

2．已知i是虚数单位，则 (3－i) (2＋i)＝（ ）

A．5＋i B．5－i C．7＋i D．7－i

3．已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若函数y＝sin 2x的图象向左平移
个单位得到y＝f (x)的图象，则（ ）

A．f (x)＝cos 2x B．f (x)＝sin 2x

C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝－sin 2x

5．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，下列命题正确的是（ ）

A．若m⊥n，则α⊥β B．若α⊥β，则m⊥n

C．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n

6．从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a 2≥4b的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：















那么方程的一个近似根(精确到
)为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．若正数x，y满足x 2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
是定义在上的增函数，函数
的图像关于点
对称。若对任意的
，不等式
恒成立，则当
时，
的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．双曲线

的左、右焦点分别为
，
。若双曲线上存在点使
，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二，填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中的横线上）

11．某篮球运动员在5场比赛中得分的茎叶图如图所示，则这位球员得分的平均数等于________．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．

13．已知实数x，y满足
,则
的最大值等于________．

14．若某几何体的三视图(单位：cm)

如图所示，则该几何体的体积等于________．

15．二维空间中圆的一维测度(周长)
，二维测度(面积)
；三维空间中球的二维测度(表面积)
，三维测度(体积)
；试类比观察，若四维空间中“超球”的三维测度为
，猜想其四维测度
________．

解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分为12分）

已知
，
，
。

(Ⅰ)若
，求证：
;

(Ⅱ)设
，若
，求
的值。

17．（本小题满分为12分）

对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：

（Ⅰ）求出表中
的值；

（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于
次的学生中任选人，求至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率．

18．（本小题满分为12分）

如图，在三棱锥
中，
底面
,

为
的中点,
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离.

19．（本大题满分12分）

已知m∈R，设函数f (x)＝x3－3(m＋1)x2＋12mx＋1．

(Ⅰ) 若f (x)在(0，3)上无极值点，求m的值；

(Ⅱ) 若存在x0∈(0，3)，使得f (x0)是f (x)在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

20．（本大题满分13分）

已知等差数列
的前项和为
，公差
，
，且
成等比数列。(Ⅰ)求数列
的前项和
；

(Ⅱ)设
，数列
的前项和为
，求证：

.

21．（本大题满分14分）

已知椭圆
的左、右两个顶点分别为
，曲线
是以
两点为顶点，焦距为
的双曲线。设点在第一象限且在曲线
上，直线
与椭圆相交于另一点
。

(Ⅰ)求曲线
的方程；

(Ⅱ)设
两点的横坐标分别为
，求证：
为定值；

(Ⅲ)设
与
(其中为坐标原点)的面积分别为
与
，且
，求

的取值范围。

答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1．A 2．C 3．A 4．A 5．D

6．C 7．B 8．B 9．C 10．D

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11．15 12．
13．12

14．
15．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．）

16．解析：

解法一：

(Ⅰ)如图一，建平面直角坐标系，
，
，

连结
，则

(Ⅱ)如图二，依条件可知
为，边长为的菱形，

且
，

解法二：

(Ⅰ)

(Ⅱ)
,

17．解析：(Ⅰ)因为
，所以

又因为
，所以

所以
，

(Ⅱ)设参加社区服务的次数在
内的学生为
，参加社区服务的次数在
内的学生为
；

任选名学生的结果为：

共
种情况 ；

其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的情况有

，共
种情况

每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
.

所以点
到平面
的距离为
.

法二：设点
到平面
的距离为
， 据

即
，得

所以点
到平面
的距离为
.

19．解析：(Ⅰ) 由题意知：f ′(x)＝3x2－6(m＋1)x＋12m＝3(x－2)(x－2m)．

由于f (x)在[0，3]上无极值点，故2m＝2，所以m＝1．

(Ⅱ) 由于f ′(x)＝3(x－2)(x－2m)， 故

(i) 当2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥
时，

取x0＝2即满足题意．此时m≤0或m≥
．

(ii) 当0＜2m＜2，即0＜m＜1时，列表如下：

x

0

(0，2m)

2m

(2m，2)

2

(2，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1





故

f(2)≤f(0)　或　f(2m)≥f(3)，即－4＋12m＋1≤1　或　―4m3＋12m2＋1≥9m＋1，

从而3m≤1　或　－m(2m－3)2≥0，

所以m≤
　或　m≤0　或　m＝
．

此时0＜m≤
．

(iii) 当2＜2m＜3，即1＜m＜
时，列表如下:

x

0

(0，2)

2

(2，2m)

2m

(2m，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1



故f(2m)≤f(0) 或 f(2)≥f(3)，

即－4m3＋12m2＋1≤1　或　－4＋12m＋1≥9m＋1，

从而－?m2 (m－3)≤0　或　3m≥4，

所以m=0　或　m≥3　或　m≥
．

此时
≤m＜
．

综上所述, 实数m的取值范围是：m≤
　或　m≥
．

20．(Ⅰ)解：
成等比数列.

，即
，又
，
，

(Ⅱ)证明：

是首项为
，公差为
的等差数列

(当且仅当
时取“”)……①

(当且仅当
时取“”)……②， 又①②中等号不可能同时取到，

21． 解析（1）依题意可得
.

因为双曲线的焦距为
，所以
.

所以双曲线
的方程为
.

（2）设点
，直线
的斜率为
，则直线
的方程为
，代入
，

整理，得
，解得
或
，

所以
.

同理将直线方程代入
，可得
.

所以
为定值.

（3）由（2），
，又
，

所以
，即
，

因为点
在双曲线上，则
所以
，即

又点
是双曲线在第一象限内的点，所以

因为
，

所以.

由（2）知
，即，
，

设
，则
，所以
，

因为
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以当
，即