徐州市2014届高三第三次质量检测

数学Ⅰ参考答案与评分标准

二、解答题

15．（1）由题意知
， ………………………………2分

又
，
，所以
， ………………………4分

即
，即
， ……………………………6分

又
，所以
，所以
，即
． …………7分

（2）设
，由
，得
，

由（1）知
，所以
，
，

在△
中，由余弦定理，得
， ……10分

解得
，所以
， ………………………12分

所以
． …………………………14分

16．（1）因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
， ………………………………3分

又
平面
，平面
平面
，

所以
． ………………………………6分

（2）在平面
内作
于点
，

因为
平面
，
平面
，所以
，

又
，
平面
，
，

所以
平面
，

所以
是三棱锥
的高． ………………9分

在直角三角形
中，
，
，所以
，

因为
平面
，
平面
，所以
，

又由（1）知，
，且
，所以
，所以
，……12分

所以三棱锥
的体积
． ……14分

17．（1）由题意可知，

…………………………4分

（2）考虑函数

当
时，
，函数
在
上单调减．

所以当
时，
取得极大值，也是最大值，

又是整数，
，
，所以当
时，
有最大值
．……10分

当
时，
，所以函数
在
上单调减，

所以当
时，
取得极大值
，也是最大值．

由于
，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．

答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是
千元．……14分

18．（1）由题意知，
，
，

所以
，
，所以椭圆的方程为
， ………………………2分

易得圆心
，
，所以圆
的方程为
．…4分

（2）证明：设直线
的方程为
，

与直线
的方程
联立，解得点
， ……………6分

联立
，消去并整理得，
，解得点
，

……………9分

（i）

，当且仅当
时，取“=”，

所以
的最大值为
． …………………………12分

（ii）直线
的方程为
，

与直线
的方程
联立，解得点
， ……14分

所以、两点的横坐标之和为
．

故、两点的横坐标之和为定值，该定值为
． …………………16分

19．（1）因为
，所以
，

则
， ………………………2分

所以
，

又
，所以
，故
是首项为
，公差为
的等差数列， ……4分

即
，所以
． ………………………6分

（2）由（1）知
，所以
，

①当
时，
，
，
，

若
，
，
成等差数列，则
（），

因为
，所以
，
，
，
，

所以（）不成立． …………………………9分

②当
时，若
，
，
成等差数列，

则
，所以
，

即
，所以
， ………………………12分

欲满足题设条件，只需
，此时
， ………………14分

因为
，所以
，
，

即
． …………………………15分

综上所述，当
时，不存在，满足题设条件；

当
时，存在
，
，满足题设条件．…16分

20．（1）

， ……2分

因为
，
，所以
，解
，得
，

所以
的单调增区间为
． …………………4分

（2）当
时，由
，得
，
，

①当
>1，即
时，
在
上是减函数，

所以
在
上的最小值为
． …………………6分

②当
，即
时，

在
上是减函数，在
上是增函数，

所以
的最小值为
． ……………………8分

③当
，即
时，
在
上是增函数，

所以
的最小值为
．

综上，函数
在区间
上的最小值

………………………10分

（3）设
，则点N的横坐标为
，

直线AB的斜率

=
，

曲线C在点N处的切线斜率

，

假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则
，

即
， ………………………………13分

所以
，不妨设
，
，则
，

令
，
，

所以
在
上是增函数，又
，所以
，即
不成立，

所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB． …………………………16分

徐州市2014届高三第三次质量检测

数学Ⅱ参考答案与评分标准

B．选修4-2：矩阵与变换

由题意知，
，
，

所以
解得
……………………5分

所以
，所以
． ……………………10分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

由题意知，圆的极坐标方程为
， ………………4分

设弦
中点为
，则
，

因为点
在圆上，所以
，即
， ………………9分

又点
异于极点，所以
，

所以弦
中点的轨迹的极坐标方程为
． ………………10分

D．选修4-5：不等式选讲

因为

，………8分

当且仅当
，即
时，取等，

所以
． …………………10分

22．如图，以
为正交基底，建立空间直角坐标系
．

则
，
，
，
，所以
，
，

，
．

（1）因为
，

所以异面直线
与
夹角的余弦值为
．

…………………………4分

（2）设平面
的法向量为
，

则
即

取平面
的一个法向量为
；

所以二面角
平面角的余弦值为
． …………………………10分

22．（1）记“演出成功”为事件，

则事件由三个互斥事件构成：
，
，
，

因为
，

，

．

所以
．

所以演出成功的概率为
．……………………………………………………4分

（2）的可能取值为4，5，6，7，8．

因为
，
．

所以的概率分布为

4

5

6

7

8



















………………8分

所以
．

答：演出节目总数的数学期望为6． ………………………………………10分

23．（1）由已知得
，
．

所以
时，
；当
时，
．………2分

猜想：
(
)． ……………