2014年安庆市省市示范高中高考模拟考试

数学试题（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

CAABC ABCCD

二、填空题

11．-2

12．

13．

14．950

15．①③④

三、解答题

16. （1）
…………（6分）

（2）
…………（12分）

17． （1）证明：连结
，交
与
，连结
，

在
中，
分别为两腰
的中点， ∴
，

面
，又
面
，
平面
，…………（5分）

（2）解法一：设平面
与
所成锐二面角的大小为
，以为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则

设平面
的单位法向量为
，则可设

设面
的法向量
，应有

，

即：
，

解得：
，所以
，

∴
，所以平面
与
所成锐二面角为60°.

…………（12分）

解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ，

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，

∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC，

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，

在
△
中，
，
，

可以计算

，

在
△
中，
，

所以平面
与
所成锐二面角为60°.

18.⑴由由条件得：
①得当
时
②

①-②化简得：
，又数列
各项为正数，

∴当
时
，故数列
成等差数列，公差为2，

又
解得：
，∴
…………（5分）

⑵由分段函数
可以得到：

，
，

当
，
时，

故当
，
时，

…………（12分）

19. （1）∵
∴
…………（3分）

(2)由题意知
的可能取值为0,1,2,3,4.

∴
,

,

,

,
.

∴
的分布列为





























的数学期望为

. ………（8分）

(3)∵
,∴
,

.

则

,

由
,

得
,

即的取值范围是
. …………（13分）

20．(1)由题意可得圆的方程为
直线
与圆相切，
即
又
即
得
所以椭圆方程为
…………（4分）

（2）设

则
即

则

即

的值为
…………（8分）

（3）设
，其中

由已知
及点P在椭圆C上可得

整理得
其中

①当
时，化简得
所以点M的轨迹方程为

轨迹是两条平行于x轴的线段；

②当
时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足
的部分. …………（13分）

21. 解：（1）
，由正弦定理得，
，

，化简得：
，

为正三角形，
. …………（5分）

由余弦定理得；

，

又由
知：
再由
可得：

，设
，下面求
的最值。求导函数：
，当
时，解得
，其中
舍去。

由于当
时，
；当
时
，故
在
上时减函数，在
上是增函数，因此当
时，
取极小值，又在
上
有且只有一个极值点，所以当
时，
取到最小值。
，于是在
中边长存在最小值，不存在最大值，其最小值为
.

…………（13分）