江门市2014年高考模拟考试

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

做
选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

如果事件
、
互斥，那么
．

独立性检验临界值表

































一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．从2、3、5、7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
为奇函数，且当
时，
，则

A．
B．
C．

D．

甲



乙



4 6

2

2 5



3 3 6 8

3

2 3 4



3 7 9

4

3 3 5[来源:学|科|网Z|X|X|K]



1

5

1 2



4．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据

整理成如图1所示的茎叶图，由图1可知

A．甲、乙两队得分的平均数相等

B．甲、乙两队得分的中位数相等

C．甲、乙两队得分的极差相等

D．甲、乙两队得分在
分数段的频率相等

5．在平面直角坐标系
中，已知
，

，若
，
则

A．
B．
C
．

D．

6．已知两条不重合直线
、
的斜率分别为
、
，则“
”是“
”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件 D．充要条件

7．如图2，在正方体
中，
是

棱
的中点，
是侧面
上的动点，

并且
平面
，则动点
的轨迹是

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段

8．设函数
，
，若实数
，
满足
，
，则

A．
B．

C．
D．

二、填
空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

9．已知命题
：
，
．

则命题
的否定
： ．

10．执行如图3的程序框图，输出的
．

11．定积分
．

12．已知直线
过点
和
（
），

则直线
斜率的取值范围是 ，

倾斜角的取值范围是 ．

13．某个部件由三个元件如图4方式连接而成，元件A

或元件B正常工作，且元件C正常工作，则部件正

常工作．若3个元件的次品率均为
，且各个元件

相互独立，那么该部件的次品率为 ．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，抛物线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．若直线
经过抛物线
的焦点，则常数
．

15．（几何证明选讲选做题）如图5，
是圆

的弦，
是
的垂直平分线，切线

与
的延长线相交于
．若
，

，则圆
的半径
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

⑴求
的值；

⑵若将
的图象向右平移
（
）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求
的最小值．

17．（本小题满分14分）

随机询问某大学40名不同性
别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表

男

女

总计



读营养说明

16

8

24



不读营养说明

4

12

16



总计

20

20

40



⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数
的分布列及其均值（即数学期望）．

（注：
，其中
为样本容量．）

18．（本小题满分14分）

如图6，四棱锥
的底面
是平行四边形，
底面
，
，
，
，
．

⑴求证：
；

⑵

是侧棱
上一点，记
，是否存在实数
，
使
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知数列
的首项
，
，
．

⑴求数列
的通项公式；

⑵求证：
，
．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
的焦点为
、
，点
在椭圆
上．

⑴求椭圆
的方程；

⑵设双曲线
：
（
，
）的顶点
、
都是曲线
的顶点，经过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，与
在第一象限内相交于
，若直线
经过坐标原点
，求双曲线
的离心率．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，
是常数．试证明：

⑴
，
是函数
的图象的一条切线；

⑵
，存在
，使
．

评分参考（理科）

一、选择题 BCAA CDDB

二、填空题 ⒐
（3分），
（
写作

亦可，但要统一，否则只计1处得分；
写作
扣1分）

⒑
⒒
⒓
（3分），
（1分＋1分）

⒔
⒕
⒖

三、解答题

⒗⑴
……4分（代入1分，三角函数值2分，结果1分）

⑵向右平移
个单位，所得到的曲线为
……6分

曲线经过坐标原点，得
……7分

化简（和差化积或积化和差），得
（或
）……10分

，
……11分，
，
的最小正值为
……12分．

（若学生在第⑴问化简函数，则相应的分值仍然计入第⑵问）

⒘⑴由表中数据，得
……4分（列式2分，计算1分，比较1分），

因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分

⑵
的取值为0，1，2……6分

，
，
……12分[来源:Zxxk.Com]




















的分布列为

……
13分

的均值为
……14分．

⒙⑴连接
，则
……1分

（方法一）
底面
，所以
，
……2分

，
……3分

，所以
，
……4分

因为
，所以
……5分

（方法二）
，所以
，
……2分

底面
，所以
……3分

因为
，所以
平面
……4分

因为
平面
，所以
……5分

⑵（方法一）过
作
于
，则
平面
……6分

连接
，由⑴知
平面
当且仅当
……7分

又
，所以
平面
……8分，
……9分

依题意，
，所以
，
……10分，
是
的平分线，从而也是
的平分线……11分

在
和
中，
，
……12分

所以
……13分，
，即所求
的值为
……14分．

（方法二）在平面
内过点
作
，以
为原点，
、
、
所
在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系……6分

则
，
，
……7分，
……8分

设
，由
得，
……9分

解得
，
，
……10分

由⑴知
平面
当且仅当
……11分，即
……12分

所以
……13分

解得
……14分．

（方法三）过
作
，交
于
，连接
，则平面
即平面

……6分，由⑴知
平面
当且仅当
……7分

由⑴及余弦定理得
……9分

所以
……12分

……13分，又
，所以
……14分．

⒚⑴由
，得
……1分，
……2分

所以
是首项